Cordas vibrantes – Harmônicos – Resolução

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Cordas vibrantes – Harmônicos

01- 75 oscilações – 30s  —  1 oscilação  —  T=30/75s  —  f=1/T  —  f=75/30  —  f=2,5Hz — f_n=nf₁  — supondo n=1  —  f₁=2,5Hz  —  a próxima ocorre quando n=2  —  f₂=2f₁  —  f₂=2.2,5  —  f₂=5Hz    R- D

02- L=0,6m  —  som fundamental (1 fuso)  — n=1  —  f_n=nV/2L  —  f₁=V/2L  —  220=V/2.0,6  —  V=264m/s    R- D

 

03- a) λ/2=12  —  λ=24cm=0,24m

b) P=mg  —  P=0,18.10  —  P=1,8N  —  v =   — v =   —  V=  —  V=60m/s

V= λf  —  60=0,24f  —  f=250Hz

04- Os três maiores comprimentos de onda são os 3 primeiros

1^o – λ₁/2=90  —  λ₁=180cm             2⁰ -2λ₂/2=90  — λ₂=90cm              3^o – 3λ₃/2=90  —  λ₃=60cm

05- Som fundamental  —  n=1  —  f₁=1/2.0,5  —  200=1/2.0,5  —  4.10⁴=T/10^-3  —  T=40N=P

P=mg  —  40=m10  —  m=4kg       R- B

06-λ₁/2=50  —  λ₁=100cm      R- D

07- a) λ = 2.35 = 70 cm

f = 680 Hz

v =  λ.f = 0,7.680 = 476 m/s

b) v =  λ.f

340 = l680

λ = 340/680 = 0,5 m = 50 cm

 

08- f_n=840Hz  —  f_n+1=1260Hz  —  f_n+1-f_n=1260-840=nV/2L  —  210=1.210/2L  — L=0,5m=50cm

09- Quando tocada na região da boca, comprimento é L e f=440Hz  —  V=λ₁f₁  —  freqüência fundamental – 1^o harmônico –

 λ₁/2=L  —  λ₁=2L  —  V=2L.440  —  V=880L

Quando tocada na região da boca, quando o comprimento for L/3 a freqüência fundamental será  — λ_x/2=2L/3  — λ_x=4L/3

V=λ_x.f_x  —  V=4L/3.f_x  —  880L=4L/3. f_x  —  f_x=660Hz

10- µ=10g/m=0,01kg/m

Adjacentes  —  uma é n e a seguinte n+1

f_n=n/2L.  —  f_n+1=(n+1)/2L.    —  f_n – f_n+1=1/2L.   —  (125-100)=1/2.2   (125-100)=1/2.2     —  (100)²=(T/0,01)²  —  10⁴=T/10^-2 — T=100N=P  — P=mg  —  100=m10  —  m=10kg    R- A 

11- a) RESSONÂNCIA

b) I – Todo corpo tem suas freqüências naturais de vibração (modos de vibração).

II – Quando o corpo é submetido a estímulos externos periódicos com freqüência igual a uma de suas freqüências naturais, o corpo oscilará com maior amplitude, quando se diz que o mesmo está em ressonância.

III – No caso, Flavita ajustava a tensão na corda 4 para deixá-la com as mesmas freqüências naturais das da corda 5, pressionada entre o 4^o e o 5^o traste.

12-  A fonte é a mesma (mesma f)—A tração é a mesma (mesmo peso – P/2) — L é o mesmo (distância entre fonte e roldanas iguais)

A corda com três fusos é a mais densa (m₁), pois como T é a mesma (v = ) V e m são inversamente proporcionais e V é menor na mais densa. Da equação V=λf, como f é a mesma, menor V implica em menor l, que é o da corda com três fusos (m₁).

Fio 1  —  3^o harmônico  —  n=3  —  f_n=nV/2L  —  f₃=3V/2L

Fio 2  —  1^o haemônico  —  n=1  —  f₁=1V/2L 

f₁=f₃=f  —  1V/2L. = 3V/2L   —   = 3  —  ()² = (3)²  —  µ₁=µ/9  

13- Sendo V inversamente proporcional a m  —  V_A>V_B. Como o comprimento de onda é o mesmo, de V=λf, concluímos que V é diretamente proporcional a f, ou seja, f_A > f_B.         R- C

14- O Sol considerado é  a frequência fundamental  —  λ_Sol/2=0,64  —  λ_Sol=1,28m  —  V=λ_Solf_Sol=392.1,28=501,76m/s

Como a corda é a mesma (mesmo meio), a velocidade V é a mesma para a freqüência Lá, também fundamental  —

V=λ_Lá.f_Lá  —  501,76=λ_Lá.440  — λ_Lá=1,14m  —  som fundamental  —  λ_Lá/2=L  —  1,14/2=L  —  L=0,57m

15- Se o comprimento da corda é igual a meio comprimento de onda, trata-se da freqüência fundamental e λ/2=1  —   λ/=2m

V= λ.f  —  V=2.260  —  V=520m/s  —  V=,  —  520=  —  T=5.408N

16- Mesma corda (mesmo meio), a V é a mesma.   —-   considerando a freqüência fundamental (λ=2L)  —  λ_Mif_Mi=λ_Láf_Lá  —  2L₁.660=2L₂.880  —  L₂/L₁=3/4

17- a) T=2,5.10^-3s  —  f=1/T  —  f=1/2,5.10^-3  —  f=400Hz

b) Nota desafinada – T₁ – f=400Hz – µ=5,0.10^-3kg/m – som fundamental n=1  —  f_n=n/2L  —  400=1/2.1 — T₁=3.200N

Nota afinada – T₂ – f=440Hz – m=5,0.10^-3kg/m – som fundamental n=1  —  f_n=n/2L  —  440=1/2.1  —  T₂=3.872N 

O aumento de tensão na corda será ΔT=T₂ – T₁=3.872 – 3.200=672N

18- a) som fundamental  —  λ₁/2=50  —  λ₁=1m  —  V=λ₁f₁=1.500  —  V=500m/s

b) V=λf  —  500=0,5f  —  f=1000Hz

19- V e L são constantes (mesma corda).

f_n+1=(n + 1)V/2L  —  f_n=nV/2L  —  f_n+1/f_n = (n+1)V/2LX2L/nV  —  f_n+1/f_n+ = (n+1)/n

20- f_n=nf₁  —  f_n=n.100 (n=2,3,4,5)   R- C

21- Relação entre as equações da frequência e da velocidade  —  f_n=n.V/2L  —  V=√(T/μ)  —  f_n=1/2L. √(T/μ)  — para a corda 1  —  f₁=1/2L. √(T/μ)  —  36=1/2.(0,60).√(40/μ₁)  —  (72.0,60)²=(√40/μ₁)²  —  μ₁=0,021  —  frequência fundamental da corda 2  —

f’₁=1/2L. √(T₂/μ)  —  f’₁=1/2.(0,40).√(90/0,021)  —  f’₁=81 Hz

22- V=√T/μ=√(240/2,4.10^-4)  —  V=√(100.10⁴)  —  V=10.10²  —  V=10³=1.000m/s  — R- A

23- Velocidade de propagação da onda  —  V=λ.f  —  V=50.0,5  —  V=25m/s  —  V=∆S/∆t  — 25=10/∆t  —  ∆t=0,4s  R- B

 

24- Observe nas figuras abaixo as ondas estacionárias formadas em cada caso  —  γ₁/2=L  —  γ₁=2L  —  V₁= γ₁.f₁  —  V₁=2L.f₁

(I)  —γ₂/2=L/2 —  γ₂=L  —  V₂= γ₂.f₂  —  V₂=L.f₂ (II)  —  como a velocidade de propagação em cada caso é a mesma  —  V₁=V₂  —  I=II  —  2Lf₁=L_f2  —  2.220=f₂  —  f₂=440Hz  —  R- A

25- Observe abaixo a expressão genérica para n harmônicos:

enésimo harmônico  —  (“n + 1” nós e n fusos)

n.γ_n/2=L  —  .γ_n =2L/n  —  V=.γ_n.f_n  —  f_n=V/γ_n  —  f_n=nV/2L

Lembrando que f₁=V/2L  —  f_n=nf₁

Se você tiver dois harmônicos consecutivos  —  f_n=n.V/2L e f_{(n + 1)}=(n + 1).V/2L  —  ∆f=(n + 1).V/2L – n.V/2L  —  ∆f=nV/2L +

V/2L – nV/2L  —   ∆f=V/2L  —  175 – 150=V/2.2  —  V=100m/s  —  R- A

 

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