Cordas vibrantes – Harmônicos
No estudo da acústica, uma harmônica de uma onda sonora corresponde à uma frequência específica de vibração que tem a propriedade de causar o fenômeno de ressonância.
Essas frequências são denominadas frequências de ressonância.
Assim, o conjunto de todos os modos de oscilação possíveis é chamado de série harmônica.
Para que você estude detalhadamente os harmônicos deve dividi-los em duas partes, cordas vibrantes e tubos sonoros.
Cordas vibrantes
As cordas vibrantes correspondem à fios flexíveis e tracionados (tensionados) em seus extremos,
utilizados em instrumentos musicais como, violão, guitarra, violino, cavaquinho, banjo, etc.
Harmônicos de uma corda vibrante
Os harmônicos de uma corda vibrante são as várias possíveis freqüências naturais das ondas estacionárias que surgem em cordas tensas (sob ação de forças tensoras de intensidade T), com massa m e comprimento L e densidade linear de massa µ.
Velocidade V de propagação da onda na corda
As ondas periódicas são originadas por fontes que executam oscilações periódicas (são repetidas em intervalos de tempos iguais).
Sendo assim, podemos dizer que a propagação de uma onda periódica em um meio homogêneo e isótropo é um movimento uniforme, com a onda se propagando com velocidade constante V, tal que V = ΔS/Δt.
Equação fundamental da ondulatória
Observe na figura as características de uma onda transversal se propagando numa corda, com com velocidade V:
Observe nas informações acima que, num intervalo de tempo Δt que corresponde a um período T (Δt = T), a onda percorre uma distância ΔS que corresponde a um comprimento de onda λ (ΔS = λ).
V = ΔS/Δt
Fórmula de Taylor para cordas vibrantes
Pode-se provar que, para a propagação de um pulso transversal ou de uma onda periódica transversal numa corda, a velocidade (V) com que uma onda periódica se propaga depende da densidade linear de massa (µ) da corda e da intensidade da força tensora (T) a que ela está sujeita.
A relação entre essas grandezas foi provada matematicamente pelo britânico Brook Taylor (1685-1731), onde você pode determinar a velocidade de propagação de uma onda numa corda utilizando a equação conhecida como Fórmula de Taylor, expressa a seguir:
Modos de vibração (harmônicos) em cordas vibrantes
Considere uma corda de comprimento L fixa em seus extremos.
Produzindo-se uma perturbação em qualquer ponto entre os extremos fixos, esta perturbação propaga-se até cada uma das extremidades, refletem-se e retornam em sentido contrário, formando
ondas estacionárias com nós (pontos que não vibram) e ventres (distância entre dois nós, que chamamos de fuso, onde todos os pontos estão em movimento vibratório).
As figuras abaixo mostram os diversos modos de vibração numa mesma corda (mesmo meio, mesma velocidade).
A onda estacionária de freqüência mais baixa é chamada freqüência fundamental. Ela corresponde a uma onda estacionaria com um único ventre, o harmônico fundamental ou primeiro harmônico.
As demais freqüências naturais são chamadas sobretons ou harmônicos superiores, pois as freqüências subsequentes são múltiplos inteiros da freqüência fundamental.
Enésimo harmônico
Lembrando que f1 = V/2L
Generalizando:
Observe que existe uma relação simples entre o comprimento L da corda e o comprimento de onda λ da onda estacionária de frequência fn que nela se estabelece.
Generalizando, para o enésimo harmônico
O número inteiro n corresponde ao número do harmônico: n = 1, para o harmônico fundamental; n = 2, para o segundo harmônico; n = 3, para o terceiro harmônico; e assim por diante.
Da equação de Taylor, para o enésimo harmônico, teremos
Observe na expressão acima que temos três variáveis, comprimento da corda L, densidade linear de
massa (corda mais grossa ou mais fina) µ e força de tração T.
As cordas de um violão, por exemplo, são dedilhadas com o polegar, indicador, médio e anular da mão direita e, para variar o comprimento da corda L, o músico coloca os dedos da mão esquerda fazendo pressão no espaço entre os trastes, produzindo assim as diversas notas musicais.
Para variar a densidade linear µ, o músico muda de uma corda para a outra e, para afinar o instrumento ele varia a força de tração girando as cravelhas ou tarraxas ( roscas para essa finalidade).
Variando dessa maneira essas três grandezas o músico obtém as várias notas musicais (harmônios, freqüências).
O que você deve saber, informações e dicas
Dessa forma, independentemente do meio em que a onda se propaga, sua frequência não vai ser modificada.
a) A nota Lá de certo piano está desafinada e o seu harmônico fundamental está representado na curva tracejada do gráfico.
a) Obtenha a freqüência da nota Lá desafinada.
b) O comprimento dessa corda do piano é igual a 1m e sua densidade linear é igual a 5,0.10-2g/cm. Calcule o aumento de tensão na corda necessário para que a nota Lá seja afinada.
Resolução:
a) Observe no gráfico que representa o harmônico fundamental da nota Lá desafinda que o período (tempo decorrido entre duas cristas ou vales consecutivos) vale T = 2,5.10-3s
b) Tração (tensão) T1 da nota Lá desafinada de frequência f=400Hz, densidade linear µ = 5,0.10-3kg/m.
Tração (tensão) T2 da nota Lá afinada (frequência do diapasão) f = 440H z, densidade linear µ = 5,0.
10-3kg/m.
O aumento pedido de tensão na corda necessário para que a nota lá seja afinada será ΔT =T2 – T1 = 3.872 – 3.200 = 672N.
A parte vibrante das cordas do violino de Bruna mede 35 cm de comprimento, como mostrado nesta figura:
Considerando essas informações,
a) Calcule a velocidade de propagação de uma onda na corda mi desse violino.
b) Considere que a corda mi esteja vibrando com uma freqüência de 680 Hz.
Determine o comprimento de onda, no ar, da onda sonora produzida por essa corda.
Velocidade do som no ar = 340 m/s
Resolução:
a) Pelo enunciado a frequência mínima de vibração que ele fornece é a frequência fundamental f1 = 680 Hz
V =λ.f
b) Dados: frequência de vibração da corda mi f = 680 Hz que é a mesma que no ar, pois a frequência independe do meio de propagação e velocidade de propagação do som no ar V = 340 m/s.
Equação fundamental da ondulatória
As extremidades esquerdas de ambos estão ligadas a uma fonte que produz pequenas vibrações com freqüência conhecida. 
A distância entre a fonte e as roldanas é L. Verifica-se que, quando a freqüência da fonte atinge o valor f, ambos os fios entram em ressonância, o mais denso no terceiro harmônico e o outro, na freqüência fundamental. Dados: v =
Conhecendo a densidade linear de massa µ do fio mais denso, determine a densidade linear de massa do outro fio;
Resolução:
Cada fio possui possui a mesma frequência f de oscilação que é a da fonte, f1 = f2 = f
O comprimento L de cada fio é o mesmo (distância entre fonte e roldanas iguais).
O fio com três fusos é a mais denso (µ1), pois como T é a mesma (v =
Da equação V = λf, como f é a mesma, menor V implica em menor λ, que é o da corda com três fusos (µ1).
