Teorema de Arquimedes – Empuxo Arquimedes, cientista e inventor grego (século III a.C) foi quem descobriu o princípio que permite calcular o valor da força vertical e para cima (Empuxo ou impulsão) que torna um corpo mais leve no interior de um fluido (líquido ou gás). Enunciado do princípio de Arquimedes “Todo corpo total ou parcialmente mergulhado num fluido (líquido ou gás) em equilíbrio, recebe uma força de direção vertical e sentido para cima denominada de Empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de líquido deslocado”. Dedução da expressão matemática da intensidade do empuxo (E) Se você pesar o volume V do líquido deslocado você obterá o valor do empuxo E, que é uma força vertical e para cima. Observação: Qualquer corpo sólido, quando imerso no ar, também sofre empuxo, pois desloca um volume igual ao seu, de ar. Mas, esse empuxo é práticamente desprezível, porque o peso do volume da massa de ar deslocada é insignificante. O que você deve saber, informações e dicas Na figura I (abaixo), sem a esfera, a balança marca o peso P do conjunto (água + recipiente), ou seja, Na figura II, se o corpo imerso recebe do líquido uma força vertical e para cima (Empuxo), pelo princípio da ação e reação o corpo reage sobre o líquido com força de mesma intensidade(Empuxo), mesma direção (vertical) e sentido contrário (para baixo). A balança indica apenas as forças que agem sobre o líquido, indicadas na figura da direita acima, que são: peso P do sistema (recipiente mais líquido), empuxo sobre o líquido (E) e a reação normal da balança (indicação da balança N) Observação: Se o corpo estiver apoiado no fundo do recipiente a balança indicará o peso do corpo mais o peso do sistema (recipiente + líquido). Veja um exercício resolvido: (UFRJ-RJ) Um recipiente contendo água se encontra em equilíbrio sobre uma balança, como indica a figura 1. Uma pessoa põe uma de suas mãos dentro do recipiente, afundando-a inteiramente até o início do punho, como ilustra a figura 2. Com a mão mantida em repouso, e após restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-se que a medida da balança sofreu um acréscimo de 4,5 N em relação à medida anterior. Resolução: Como visto na teoria acima a diferença na leitura da balança corresponde a ao empuxo E sofrido pela mão ao ser mergulhada, A análise da figura abaixo vai lhe ser muito importante: Observe detalhadamente as figuras abaixo. Na figura 1, com o corpo no ar, a indicação do dinamômetro é o peso real (Pr) do corpo, no nosso exemplo, Pr = 10 N. Nas figuras 2, 3 e 4, à medida que o corpo vai imergindo no líquido, o empuxo vai aumentando, pois ele vai deslocando cada vez mais volume de líquido e, o peso aparente (Pa) que é o peso real menos o empuxo (Pa = Pr – E) vai diminuindo e atinge seu valor mínimo, no caso 7N, quando o corpo está totalmente imerso. Assim, estando o corpo em equilíbrio, Pr = Pa + E. Representando gráficamente a situação acima: A maioria dos peixes ósseos apresenta bexiga natatória (atualmente denominada vesícula gasosa), uma bolsa cheia de gases acima do estômago cujo volume é regulado por meio de trocas de gases com o sangue e, pela sua dilação ou contração, determina a posição do peixe na água. Para aumentar a profundidade, os peixes contraem a bexiga natatória e, com isso, aumentam a sua densidade tornando-se mais pesado que a água e descendo. Ao subir, fazem o contrário. Os submarinos possuem tanques de ar (câmaras de flutuação) que são instaladas entre as estruturas interna e externa do casco, com paredes bem reforçadas para resistirem à pressão. O sobe e desce do submarino depende da quantidade de água nesses tanques, que podem aumentar ou diminuir devido ao ar comprimido. Um navio não afunda porque, apesar de o material metálico de que ele é feito ter densidade maior do que a da água ele não é um corpo maciço, ele tem partes ocas. Desse modo, o navio tem uma densidade menor do que a da água e, portanto, flutua. Assim, seu imenso volume consegue deslocar uma quantidade de água cujo peso é maior ou igual ao do navio como um todo. Um pedaço de gelo flutua em equilíbrio térmico com certa quantidade de água depositada em um balde. À medida que o gelo derrete o nível da água no balde não se altera. A densidade do gelo é menor que a densidade da água, ou seja, o gelo ocupa mais espaço do que a quantidade de água equivalente. Assim, o volume de água proveniente do gelo derretido é igual ao volume de gelo que estava imerso. Por esse motivo, o nível da água no balde não se altera. Observação: Baseado nisso, observe que o derretimento de um iceberg (que fica flutuando parcialmente imerso na água) não altera o nível do mar o que ocorre no oceano Ártico. Mas, existe muito gelo sobre as montanhas e muito mais gelo sobre o continente do Polo Sul. É justamente este gelo que, ao derreter, escorre para o mar e contribui para o aumento do nível de água. Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre Teorema de Arquimedes – Empuxo 01 -(PUC - MG) Dentro da água, as pessoas sentem uma sensação de estarem mais leves devido à força exercida pela água sobre o corpo imerso. Esta força descrita por Arquimedes é denominada de Empuxo. É CORRETO afirmar: a) O empuxo é proporcional ao volume de água deslocado pelo corpo. b) A direção do empuxo pode ser horizontal. c) O empuxo é sempre menor que o peso do corpo imerso na água. d) O empuxo é igual ao peso do corpo imerso. Resolução: Enunciado do princípio de Arquimedes: “Todo corpo total ou parcialmente mergulhado num líquido em equilíbrio, recebe uma força de direção vertical e sentido para cima denominada de Empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de líquido deslocado“ R- A 02- (MACKENZIE - SP) Um navio flutua por que: a) seu peso é pequeno quando comparado com seu volume. b) seu volume é igual ao volume do líquido deslocado. c) o peso do volume do líquido deslocado é igual ao peso do navio. d) o peso do navio é menor que o peso do líquido deslocado. e) o peso do navio é maior que o peso do líquido deslocado. Resolução: Enunciado do princípio de Arquimedes “Todo corpo total ou parcialmente mergulhado num líquido em equilíbrio, recebe uma força de direção vertical e sentido para cima denominada de Empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de líquido deslocado“ Como o navio está em equilíbrio vertical (flutuando) o empuxo (peso do volume do líquido deslocado), vertical e para cima deve ser igual ao peso do navio, vertical e para baixo. R- C 03- (CEDERJ – RJ) Um cubo de gelo encontra-se em repouso flutuando na água. Considere que P e E representam, respectivamente, os módulos do peso do cubo de gelo e do empuxo que a água exerce sobre o gelo. F denomina o módulo da resultante das forças que atuam no cubo de gelo. Então: (A) F = (E + P) > 0 (B) F= P; E = 0 (C) F = 0; E = P (D) F < P < E Enunciado do princípio de Arquimedes R- C 04- (PUC - RJ) Calcule a massa específica deste líquido em g/ a) 0,15 b) 0,45 c) 0,60 d) 0,80 e) 2,40 Resolução: Como o objeto de volume V flutua no líquido ele está em equilíbrio e, nesse caso, o empuxo E R- D 05- (UECE – CE) Considere um navio petroleiro parado em alto mar. Desprezando os movimentos de ondas e forças de arrasto do vento, caso o navio esteja em equilíbrio estático, é correto afirmar que é A) nula a soma vetorial da força peso com a força de empuxo. B) vertical para cima o vetor força resultante da soma da força peso e da força de empuxo. C) vertical para baixo o vetor força resultante da soma da força peso e da força de empuxo. D) horizontal o vetor força de empuxo e se anula com a força de atrito viscosa da água. Veja figuras abaixo: Se o petroleiro flutua é porque ele é menos denso que a água do mar e, assim ele estaria sempre flutuando sendo nula a soma vetorial da força peso com a força de empuxo. R- A 06- (UFPA - PA) Uma criança brinca com um balde de água, um barquinho e uma âncora de metal. Na situação “A”, a criança coloca o barquinho flutuando na água. Na situação “B”, coloca o barquinho flutuando com a âncora dentro do barquinho. Na situação “C”, joga a âncora no fundo do balde e o barquinho flutuando na superfície da água. situações “A”, “B” e “C” respectivamente. Use a lei de Arquimedes para determinar qual das seguintes alternativas é a correta. Resolução: O empuxo (força vertical e para cima) é igual ao peso do volume de líquido deslocado e assim, quanto maior o peso maior será o volume de líquido deslocado e consequentemente, maior será a altura da superfície da água do balde. Maior peso B (barco + âncora dentro, deslocam maior volume de água). Menor peso A (barco sem âncora, desloca menor volume de água). Intermediário C (volume deslocado somente pelo barco ) + volume deslocado somente pela âncora). R- C 07- (FGV - SP) A figura a seguir ilustra três cilindros sólidos maciços e homogêneos, de mesma área da base e altura (volumes iguais), em equilíbrio em um líquido. O cilindro A está completamente submerso, sem tocar no fundo do recipiente, o cilindro B está com metade de seu volume emerso, enquanto o cilindro C apresenta 1/3 de seu volume abaixo da superfície livre do líquido. Sobre essa situação, é correto afirmar que (A) a densidade do cilindro A é maior do que a do líquido, pois ele está completamente submerso. (B) a densidade do cilindro B é igual ao dobro da do líquido, pois ele desloca metade do seu volume no líquido. (C) a densidade do cilindro A é maior do que a do cilindro B, que é maior do que a do cilindro C, em razão dos volumes deslocados no líquido. (D) pelo fato de estar completamente submerso, o peso do cilindro A é maior do que o empuxo sobre ele e maior que os pesos de B e de C. (E) o peso do cilindro C é menor do que o empuxo sobre ele porque apenas 1/3 de seu volume está submerso. Resolução: Bloco C R- B 08- (UCPel - RS) R- C 09- (CEDERJ - RJ) Uma esfera de madeira flutua imersa, parcialmente, na água de um aquário de água doce (sem sal). Quando essa água é trocada por água do mar, uma nova situação de equilíbrio é estabelecida. Nessa nova situação, em comparação à anterior, o empuxo sobre a esfera e o seu volume submerso são, respectivamente: (A) o mesmo e maior. (B) maior e o mesmo. (C) maior e menor. (D) o mesmo e menor Resolução: Para esse exercício precisamos analisar a fórmula do empuxo: Com a adição de sal a densidade da água aumenta, porém quando se aumenta a densidade parte da esfera sai da água, e o volume deslocado diminui, sendo assim a alternativa D é a correta, pois o empuxo não se altera, já que o peso da esfera é o mesmo em ambos os casos. R- D 10- (ACAFE – SC) A reciclagem é uma atividade importante para a sustentabilidade do planeta. Ela pode ocorrer tanto com a matéria prima que constitui um determinado objeto, como com o próprio objeto que pode ser reutilizado para desempenhar novamente sua função ou criar outros objetos. Pensando nesta reciclagem, surfistas criaram, a partir de garrafas PET de 2 litros, uma prancha de Stand Up com 93 dessas garrafas, como mostra a figura abaixo. Neste sentido, considere uma surfista que deseja testar a flutuabilidade dessa prancha. Para isso, ela fica de pé sobre a prancha em uma piscina e percebe que ela flutua bem. Desconsiderando o peso das garrafas e sabendo que elas ficaram com 1/3 de seu volume submerso, marque a alternativa que indica, em kg, a massa da surfista. a) 55 b) 31 c) 93 d) 62 Resolução: Expressão matemática do Empuxo R- D 11- (FGV – SP) Um barquinho de brinquedo, contendo no seu interior uma bolinha de gude de massa m, flutua na água de um recipiente, graduado em unidades de volume. Sendo a densidade da água igual a Resolução: R- E 12- (UNIFESP – SP) Para determinar a densidade de uma coroa metálica maciça, foi realizado um experimento em que ela foi pendurada em um dinamômetro ideal por dois modos diferentes: um no ar e outro totalmente imersa na água em equilíbrio contida em um recipiente, de acordo com as figuras 1 e 2, respectivamente. Resolução: a) Cálculo da massa da coroa utilizando a figura 1. No ar, a intensidade da força de tração T no fio do dinamômetro (indicação do dinamômetro), T = 8,0 N é o próprio peso da coroa. T = P Na figura 2 surge o empuxo de Arquimedes fornecido por: Expressão matemática do Empuxo Assim, as forças que surgem sobre a coroa totalmente imersa na água (figura 2) são: 13- (UFV - MG) Para poder emergir e submergir (subir e afundar), um submarino utiliza tanques de lastro. Esses tanques ficam vazios quando o submarino está na superfície da água e se enchem de água do mar, de modo a permitir sua submersão. As figuras A, B e C ilustram, respectivamente, situações em que um submarino se encontra na superfície, submergindo e totalmente submerso. Sabendo que a água do mar tem densidade de aproximadamente 1000 kg/ b) 200 c) 500 d) 100 Resolução: R- B 14- (UEPA - PA) As balsas estão entre os veículos mais utilizados para transporte nos rios da Amazônia, pois apresentam espessuras relativamente pequenas, o que lhes permite navegar em rios com trechos de pouca profundidade. Considere um modelo simplificado de balsa, cujo casco tem a forma de um paralelepípedo de dimensões 30 m X 10 m X 2 m, e suponha que essa balsa esteja navegando em um trecho de rio de 1,8 m de profundidade. Admitindo que essa balsa tenha uma massa de 150 t e que a distância mínima de segurança do fundo do casco para o leito do rio seja de 1 m, afirma-se que a sua capacidade máxima de carga para poder navegar sem problemas nesse trecho de rio, em t, é igual a: b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 Resolução: Cálculo da altura h da parte imersa com a balsa de massa m = 150 000 kg sem carga Observe atentamente na figura que, quando a carga de peso P’ for colocada, a balsa deve afundar mais 0,3 m, pois distância mínima de segurança do fundo do casco para o leito do rio deve ser de 1m. Assim, o volume V’ de água deslocado por essa carga corresponde ao de um paralelepípedo de comprimento 30m, largura 10m e altura h’=0,3m R- D 15- (UFSM - RS) A posição dos peixes ósseos e seu equilíbrio na água são mantidos, fundamentalmente, pela bexiga natatória que eles possuem. Regulando a quantidade de gás nesse órgão, o peixe se situa mais ou menos elevado no meio aquático. “Para _______________ a profundidade, os peixes ______________ a bexiga natatória e, com isso, _______________ a sua densidade.” Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas. a) aumentar – desinflam – aumentam b) aumentar – inflam – diminuem c) diminuir – inflam – aumentam d) diminuir – desinflam – diminuem e) aumentar – desinflam – diminuem Resolução: A maioria dos peixes ósseos apresenta bexiga natatória (atualmente denominada vesícula gasosa), uma bolsa cheia de gases acima do estômago cujo volume é regulado por meio de trocas de gases com o sangue e, pela sua dilação ou contração, determina a posição do peixe na água. Para aumentar a profundidade, os peixes contraem a bexiga natatória e, com isso, aumentam a sua densidade tornando-se mais pesado que a água e descendo. Ao subir, fazem o contrário. R- A 16-(UNIRIO - RJ) Arquimedes (287 – 212 a.C.), filósofo grego, nasceu em Siracusa. Foi, talvez, o primeiro cientista experimental de que se tem notícia. Construiu armas defensivas importantes para sua cidade natal que, periodicamente era invadida pelos romanos. É sobre Arquimedes uma das mais curiosas histórias sobre resolução de um problema: ele se encontrava no banho, pensando no problema, ao perceber que teria encontrado a solução, saiu nu pelas ruas, gritando: “Eureka! Eureka!” (Achei! Achei!). Deve-se a Arquimedes o conhecimento de que todo corpo imerso num fluido sofre a ação de uma força, feita pelo fluido – denominada empuxo – de direção vertical e sentido para cima, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado. Uma esfera encontra-se submersa em água. Infinitos são os pontos de contato da água com a esfera. A representação da força que a água exerce sobre a esfera, em apenas oito pontos de contato, está corretamente desenhada na alternativa: Resolução: R- C 17- (UFPEL-RS) Um submarino consegue submergir enchendo de água tanques especialmente destinados a esse fim. Os mesmos compartimentos são esvaziados, através de bombas muito potentes, quando o submarino deve voltar à superfície. Considerando constante a densidade da água do mar, responda às seguintes perguntas e justifique suas respostas. a) Pode o submarino flutuar sendo constituído de material mais denso que a água? b) O empuxo exercido sobre o submarino quando totalmente mergulhado depende da profundidade em que se encontra? c) Estando o submarino totalmente mergulhado, em qual dos pontos – A, B ou C – a pressão exercida pela água é maior? Resolução: a) Sim, ele flutua quando nas câmaras a água é expulsa e substituída por ar, tornando o peso (vertical e para baixo) do submarino menor que o empuxo (vertical e para cima). b) Não depende, pois o volume de líquido deslocado (empuxo) é o mesmo em qualquer profundidade. c) Ponto C, devido ao teorema de Stevin maior h, maior pressão 18- (FUVEST - SP) Um recipiente, contendo determinado volume de um líquido, é pesado em uma balança (situação 1). Para testes de qualidade, duas esferas de mesmo diâmetro e densidades diferentes, sustentadas por fios, são sucessivamente colocadas no líquido da situação 1. Uma delas é mais densa que o líquido (situação 2) e a outra menos densa que o líquido (situação 3). Os valores indicados pela balança, nessas três pesagens, são tais que Resolução: Lembre-se de que o acréscimo de peso na balança corresponde ao empuxo, que é igual ao peso do volume de líquido deslocado e, observe, que ele é maior em 2 do que em 3 R- B 19- (UNESP - SP) Na extremidade inferior de uma vela fixa-se um cilindro de chumbo. A vela é acesa e imersa na água, conforme o esquema, ficando inicialmente em equilíbrio. Suponhamos que não escorra cera fundida enquanto a vela queima. Nessas condições, enquanto a vela queima: a) x permaneceu constante e y diminuiu. b) x aumenta e y diminui c) o valor da relação x/y permanece constante d) x chega a zero antes de y e) depois de certo tempo, a vela tende a tombar para o lado. Resolução: S Como a vela se mantém sempre em equilíbrio à medida que vai queimando, durante toda a queima R- D Parte superior do formulário Parte superior do formulário
Teorema de Arquimedes – Empuxo