GRAVITAÇÃO UNIVERSAL LEIS DE KEPLER Introdução Foram séculos de observações e estudos sobre as leis que explicam os movimentos dos planetas. Esse estudo começou com os filósofos da Grécia antiga e teve sequência com o último astrônomo grego da antiguidade, Cláudio Ptolomeu, que propôs um sistema planetário geocêntrico, que colocava a Terra como o centro do Universo (final do século II d.C), sistema aceito durante muitos séculos. No século XV, o astrônomo polonês Nicolau Copérnico propôs o sistema heliocêntrico em que o Sol ocupava o centro do Universo e as órbitas dos planetas ao seu redor eram circulares. Galileu Galilei (1564-1642) defendeu e aprimorou o Sistema de Copérnico através da utilização de novos instrumentos ópticos e observações astronômicas. Porém foi o astrônomo alemão Johannes Kepler(1571-1630) que, baseado nas inúmeras e minuciosas observações astronômicas de Tycho Brahe (1546-1601) esclareceu de forma definitiva e correta o movimento dos planetas ao redor do Sol através de três leis conhecidas como leis de Kepler. Primeira lei de Kepler (lei das órbitas) “As órbitas que os planetas descrevem ao redor do Sol são elípticas, com o Sol ocupando um dos O que você deve saber, informações e dicas Na realidade, os planetas giram ao redor do Sol em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Sol-planeta, mas como a massa de qualquer planeta é muito pequena em relação à massa do Sol, esse ponto está localizado no centro do Sol. Assim, os planetas giram em torno do centro do Sol que está num dos focos da elipse. Já para o sistema Terra-Lua, como a massa da Lua não é insignificante em relação à massa da Terra (aproximadamente 81 vezes menor), este ponto comum está localizado no interior da Terra, a uma distância aproximada de 74% do raio terrestre, a partir do centro da Terra. De uma maneira geral, as três leis de Kepler são válidas sempre que um corpo gravite em torno de outro com massa bastante superior, como por exemplo, os satélites artificiais em torno da Terra e tornam-se mais simples escolhendo o Sol como sistema de referência. do Sol em torno de seu eixo que é o mesmo que o dos planetas em torno de si mesmo. Segunda lei de Kepler (lei das áreas) “O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos de tempo iguais” A figura abaixo representa um planeta em órbita elíptica ao redor do Sol. Procure memorizar as informações da figura abaixo: Portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio. Velocidade areolar A velocidade areolar K corresponde à área varrida por unidade de tempo e é constante para cada planeta. Assim, para o planeta da figura abaixo, como e ele varre áreas iguais em tempos iguais Ainda, de acordo com essa lei, se as órbitas forem circulares a velocidade de translação V’ será constante e se a órbita do planeta tiver raio R e seu período de translação for T, Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias (raio médio R) ao Sol” O raio médio R é calculado pela média entre os raios do periélio e do afélio (veja figura abaixo) O que você deve saber, informações e dicas As estações ocorrem devido ao fato de áreas da Terra, devido à inclinação da mesma, receberem mais ou menos luz do Sol durante seu movimento de translação. Ocorre porque a trajetória lunar não é circular, é elíptica de forma que ao atingir o ponto mais próximo da Terra temos apenas um aumento aparente devido à proximidade Quando o dia em que ocorre uma Lua Cheia coincide com o dia em que ela passa pelo perigeu (mais próxima da Terra) ela pode se apresentar até cerca de 30% mais brilhante que uma Lua Cheia no apogeu (mais afastada da Terra). Nesse caso, ela aparenta ter um aumento de 14% em relação ao seu tamanho real. Essa Lua Cheia mais próxima da Terra é chamada de Super Lua. Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre Leis de Kepler da Gravitação Universal 01 -(UNIFESP - SP) A Massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua e a distância entre os centros de massa desses astros é aproximadamente 60 vezes o raio da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua pode-se afirmar que a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos focos dessa órbita está o centro de massa da Terra b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de massa da Terra está no centro dessa órbita c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Terra. d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no meio da distância entre os centros de massa da Terra e da Lua. e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Lua. Resolução: Considerando o sistema solar, a maior parte de sua massa está concentrada no Sol (99,85%). Na realidade, os planetas giram ao redor do Sol em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Sol-planeta, mas como a massa de qualquer planeta é muito pequena em relação à massa do Sol, esse ponto está localizado no centro do Sol. Assim, os planetas giram em torno do centro do Sol que está num dos focos da elipse. (Já para o sistema Terra-Lua, como a massa da Lua não é insignificante em relação à massa da Terra (aproximadamente 81 vezes menor), este ponto comum está localizado no interior da Terra, a uma distância aproximada de 74% do raio terrestre, a partir do centro da Terra). De uma maneira geral, as três leis de Kepler são válidas sempre que um corpo gravite em torno de outro com massa bastante superior, como por exemplo, os satélites artificiais em torno da Terra e tornam-se mais simples escolhendo o Sol como sistema de referência. R- C 02- (ENEM - MEC) As leis de Kepler definem o movimento da Terra em torno do Sol. Qual é, aproximadamente, o tempo gasto, em meses, pela Terra para percorrer uma área igual a um quarto da área total da elipse? Resolução: Segunda lei de Kepler (lei das áreas) “O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos de tempo iguais” Observe na definição acima que as áreas “varridas” são diretamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos para “varre-las”. O tempo gasto pela Terra para “varrer” a área inteira (S) da elipse, ou seja, para efetuar uma volta completa é de 1 ano terrestre (12 meses) R- D 03 -(UNESP - SP) Resolução: Segunda lei de Kepler (lei das áreas) “O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos de tempo iguais” Observe na definição acima que as áreas “varridas” são diretamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos para “varre-las”. R- A 04 -(UNESP - SP) A órbita de um planeta é elíptica e o Sol ocupa um de seus focos, como ilustrado na figura (fora de escala). As regiões limitadas pelos contornos OPS e MNS têm áreas iguais a A. Resolução: R- B 05 -(UEPB - PB) O astrônomo alemão J. Kepler(1571-1630), adepto do sistema heliocêntrico, desenvolveu um trabalho de grande vulto, aperfeiçoando as ideias de Copérnico. Em consequência, ele conseguiu estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas, que permitiram um grande avanço no estudo da astronomia. Um estudante ao ter tomado conhecimento das leis de Kepler concluiu, segundo as proposições a seguir, que: I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada. II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita, diminui à medida que ele se afasta do Sol. III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de revolução. Com base na análise feita, assinale a alternativa correta: a) apenas as proposições II e III são verdadeiras b) apenas as proposições I e II são verdadeiras c) apenas a proposição II é verdadeira d) apenas a proposição I é verdadeira e) todas as proposições são verdadeiras Resolução: I. Falsa II. Correta III- Falsa Atualmente comprova-se que cada planeta tem um dia de duração própria, que dependerá de sua velocidade de rotação e de seu diâmetro. R- C 06- (UEMG - MG) Em seu movimento em torno do Sol, o nosso planeta obedece às leis de Kepler. A tabela a seguir mostra, em ordem alfabética, os 4 planetas mais próximos do Sol: Baseando-se na tabela apresentada acima, só é CORRETO concluir que a) Vênus leva mais tempo para dar uma volta completa em torno do Sol do que a Terra. b) a ordem crescente de afastamento desses planetas em relação ao Sol é: Marte, Terra, Vênus e Mercúrio. c) Marte é o planeta que demora menos tempo para dar uma volta completa em torno de Sol. d) Mercúrio leva menos de um ano para dar uma volta completa em torno do Sol. Resolução: R- D 07 -(ITA - SP) Considere um segmento de reta que liga o centro de qualquer planeta do sistema solar ao centro d do Sol. De acordo com a 2ª Lei de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em tempos iguais. Considere, então, que em dado instante deixasse de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta. Assinale a alternativa correta. a) O segmento de reta em questão continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais. b) A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porem com focos diferentes e a 2ª Lei de Kepler continuaria válida. c) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2ª Lei de Kepler não seria mais válida. d) A 2ª Lei de Kepler só é válida quando se considera uma força que depende do inverso do quadrado das distâncias entre os corpos e, portanto, deixaria de ser válida. e) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol. Resolução: Observe pela figura abaixo que, se o efeito da gravitação deixasse de existir no ponto P, o planeta R- A 08 -(UCB – DF) A Terceira Lei de Kepler, conhecida como Lei dos Períodos, estabelece que a razão entre o quadrado do período de revolução T com o cubo do raio D de sua órbita é constante. Admita que um satélite foi colocado em órbita sobre o equador da Terra em uma posição igual ao nono da Terra – Lua, calcule qual deve ser o período desse satélite se a Lua leva 27 dias para completar uma revolução em torno da Terra. (A) 12 dias (B) 12 h (C) 3 dias (D) 1 dia (E) 9 dias Resolução: Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias R ao Sol” R- D 09 -(UEA – AM) Marte possui dois pequenos satélites naturais, chamados Deimos e Fobos, que se acredita serem dois asteroides capturados pelo planeta. Resolução: R- B 10 -(ENEM - MEC) Na madrugada de 11 de março de 1978, partes de um foguete soviético reentraram na atmosfera acima da cidade do Rio de Janeiro e caíram no Oceano Atlântico. Foi um belo espetáculo, os inúmeros fragmentos entrando em ignição devido ao atrito com a atmosfera brilharam intensamente, enquanto “cortavam o céu”. Mas se a reentrada tivesse acontecido alguns minutos depois, teríamos uma tragédia, pois a queda seria na área urbana do Rio de Janeiro e não no oceano. De acordo com os fatos relatados, a velocidade angular do foguete em relação à Terra no ponto de reentrada era (A) igual à da Terra e no mesmo sentido. (B) superior à da Terra e no mesmo sentido. (C) inferior à da Terra e no sentido oposto. (D) igual à da Terra e no sentido oposto. (E) superior à da Terra e no sentido oposto. Resolução: A velocidade angular do foguete tem que ter o mesmo sentido que a da Terra, caso contrário a queda seria à esquerda, provavelmente sobre o Oceano Pacífico e não sobre o Atlântico como afirma o enunciado. Então o foguete deve se mover no mesmo sentido que o de rotação da Terra e como os fragmentos reentraram na atmosfera acima da cidade do Rio de Janeiro e caíram a Leste dessa cidade, no oceano Atlântico, sua velocidade angular deve ser superior à da Terra. R- B 11 -(IFPR – PR) O sistema geocêntrico, Terra como centro do universo, prevaleceu por séculos e a partir da idade média, hipóteses que contrariavam esse sistema começaram a ganhar adeptos. Nicolau Copérnico, em seus estudos, propôs o heliocentrismo, segundo o qual os planetas, então conhecidos na época, descreveriam órbitas ao redor do Sol. Esse sistema permaneceu durante um bom tempo, até que, anos mais tarde, o alemão Johannes Kepler (1571-1630) enunciou três leis que descrevem o movimento dos planetas no sistema solar. Com relação as leis de Kepler podemos afirmar que: I) A lei das órbitas presume que os planetas descrevem órbitas circulares e o Sol ocupa o centro. II) Uma consequência da lei das áreas é o fato de que a velocidade do planeta, ao percorrer sua órbita, não é constante. III) A lei dos períodos diz que a razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas e os cubos dos respectivos raios médios das órbitas é constante. IV) Segundo a lei das órbitas, no movimento de órbita do planeta, o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais. Está(ão) correta(s) apenas: A) I. B) I e III. C) II e III. D) IV. Resolução: I) Falsa Primeira lei de Kepler (lei das órbitas) “As órbitas que os planetas descrevem ao redor do Sol são elípticas, com o Sol ocupando um dos II- Correta – “O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos de tempo iguais” A figura abaixo representa um planeta em órbita elíptica ao redor do Sol. Procure memorizar as informações da figura abaixo: Portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio. III- Correta Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias (raio médio R) ao Sol” IV- Falsa Veja (I) R- C 12 - (IFMG - MG) As leis de Kepler trouxeram uma nova compreensão para a mecânica celeste. Elas possibilitaram analisar as trajetórias, períodos e distâncias de corpos celestes. De acordo com as Leis de Kepler, é CORRETO afirmar que o: A) módulo da velocidade de um planeta em órbita elíptica é constante. B) Sol se situa em um dos focos da trajetória elíptica descrita por um planeta. C) período de translação e a massa de um planeta se relacionam através de uma proporção direta. D) período de rotação de um planeta, em torno de seu eixo, e seu o período de translação em torno do Sol são diretamente proporcionais. Resolução: De acordo com a primeira lei de Kepler as órbitas são elípticas ao redor do sol, sendo que o sol está localizado em um dos focos. Alternativa B. No caso de A, a velocidade do planeta aumenta quando o corpo se aproxima do sol. No caso de C e D, o período de translação só depende da distância entre o planeta e o sol. R- B 13 -(FAMERP - SP) Atualmente, a Lua afasta-se da Terra a uma razão média aproximada de 4 cm/ano. Considerando as Leis de Kepler, é correto concluir que o período de (A) rotação da Lua não se altera. (B) rotação da Lua está diminuindo. (C) translação da Lua ao redor da Terra não se altera. (D) translação da Lua ao redor da Terra está aumentando. (E) translação da Lua ao redor da Terra está diminuindo. Resolução: Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias (raio médio R) ao Sol” O mesmo é válido para Terra-Lua. Se a distância média R da Lua à Terra aumenta, e ela é proporcional ao período de translação T da Lua ao redor da Terra, este período também deve aumentar. R- D 14 -(FGV - SP) Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes mais longe do que a Terra se encontra desse astro, com massa 4 vezes maior que a terrestre e raio superficial igual à metade do raio da Terra. Considere a aceleração da gravidade na superfície da Terra expressa por g. Esse planeta completaria uma volta em torno do Sol em um tempo, expresso em anos terrestres, mais próximo de Resolução: R- E 15- (UNCISAL-AL) Na noite do dia 14 de novembro de 2016 aconteceu o chamado fenômeno da Super Lua. A informação transmitida por muitos dos veículos de comunicação era de que, naquela noite, “a lua cheia aumentaria de tamanho”. Essa afirmativa não é cientificamente correta, visto que a Lua em si mantém seu tamanho natural. Qual a explicação mais correta para o fenômeno? A) O aumento visual no tamanho da Lua ocorre pelo aumento de seu brilho gerado quando nosso satélite se encontra na fase de lua cheia. B) A Terra se encontra no ponto mais próximo do Sol, o que aproxima mais a Lua da Terra devido ao aumento dos efeitos gravitacionais do Sol. C) No perigeu da órbita lunar, a coluna de ar entre a Terra e a Lua diminui; assim, a atmosfera proporciona um efeito de ampliação visual por refração. D) As forças de maré são mais intensas durante o período de Lua cheia proporcionando, assim, uma maior aproximação desse astro em relação à Terra. E) A trajetória lunar não é circular, de forma que ao atingir o ponto mais próximo da Terra temos apenas um aumento aparente devido à proximidade Resolução: A trajetória da Lua ao redor da Terra não é circular, é elíptica. Quando o dia em que ocorre uma Lua Cheia coincide com o dia em que ela passa pelo perigeu (mais próxima da Terra) ela pode se apresentar até cerca de 30% mais brilhante que uma Lua Cheia no apogeu (mais afastada da Terra). Nesse caso, ela aparenta ter um aumento de 14% em relação ao seu tamanho real. Essa Lua Cheia mais próxima da Terra é chamada de Super Lua. 16 -(FUVEST - SP) Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da É possível estimar a medida do ângulo α, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t2, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Resolução: O tempo total T para a Lua efetuar uma volta completa ao redor da Terra (“varrer” um ângulo de 360o) vale T = t1 + t2 = 14,9 + 14,8 = 29,7 dias. (I) O tempo t2 = 14,8 dias que é aquele decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente que é o mesmo que a Lua demora para “varrer” um ângulo 2α. (II) Como, pelo enunciado você deve supor que o movimento é uniforme você pode utilizar uma regra de três com (I) e (II): R- E 
R- E
Leis de Kepler – Gravitação Universal