Vetores – Diferenças entre grandezas escalares e grandezas vetoriais
VETORES Diferenças entre grandezas escalares e grandezas vetoriais Grandezas Escalares São aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas por um número seguido de uma unidade. Exemplos: As grandezas abaixo ficam claramente determinadas quando delas fornecemos um número real de medida e a unidade de medida. Assim, por exemplo, a temperatura onde estão os ursos da figura 1 é de - 10o C, a pressão da garota da figura 2 é de 13mmHg por 8mmHg, na figura 3 o homem está olhando seu relógio que marca 8,00 horas, o reservatório de água da figura 4 tem volume de 1,5.106 litros e a massa do produto da figura 5 é de 500 g. Todas elas são grandezas escalares que ficam claramente determinadas quando delas fornecemos um número real de medida e a unidade de medida. Grandezas Vetoriais Não ficam perfeitamente definidas apenas pelo número acrescido de unidade. Para entendê-las, considere um motociclista que está a 5m de uma ponte que caiu. Se você afirmar que a moto se deslocou 5,5m você não pode dizer que ela cairá, pois ela pode se deslocar 5,5m para o leste ou para o oeste. Assim, o deslocamento da moto não ficou perfeitamente definido pelo número acrescido de unidade, pois faltou a orientação (direção e sentido, fornecida pelos pontos cardeais). Então, o deslocamento é uma grandeza vetorial, que são aquelas que, além do número e da unidade, para ficarem perfeitamente caracterizadas necessitam também de uma direção e de um sentido. Exemplos de grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração, força, impulso, etc. Vetor Trata-se da representação de uma grandeza vetorial que é feita através de um segmento de reta orientado, cujo sentido é fornecido pela seta, em uma de suas extremidades. Todo vetor é representado por letras acompanhadas por uma pequena seta sobre elas. Características de um vetor A intensidade de um vetor qualquer Exemplos de como fornecer características de um vetor: O que você deve saber, informações e dicas Exemplo: Determine a intensidade (no SI), direção e sentido do vetor Adição de vetores Pode-se determinar o vetor soma ou vetor resultante de dois ou mais vetores através de dois processos: Adição de vetores pelo Método da Linha Poligonal Veja a seguir um exercício exemplo: Mais 3 exemplos muito importantes, examine-os detalhadamente: Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (vetor resultante) pelo método da linha poligonal: Observação: Método de adição de vetores pela regra do paralelogramo Explicando com um exemplo: Coloque a origem dos dois vetores em um mesmo ponto e, em seguida, trace pelas extremidades de cada um deles, uma paralela ao outro, com linha pontilhada. Subtração de vetores Dois vetores são opostos quando têm a mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários. Subtrair um vetor é somá-lo ao oposto do outro. Exemplos: Dado o vetor Decomposição cartesiana de um vetor Versor Chama-se versor qualquer vetor de módulo (intensidade) igual a 1. Qualquer vetor pode ser expresso em função de seus versores horizontais e verticais. Exemplo: Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre vetores 01- (UFB) Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) tem a mesma direção. b) tem o mesmo sentido. c) tem a mesma intensidade (módulo) d) são iguais. Resolução: c) mesmo módulo (intensidade) 02- (UFB) Quantos sentidos possui uma direção? Resolução: Dois, um em cada extremidade, ou seja, apenas duas setas. Exemplos: na direção vertical (norte ou sul) ou na direção horizontal (leste ou oeste). 03- (CEFET - PR) Verifique quais são as grandezas escalares e vetoriais nas afirmações abaixo. 1) O deslocamento de um avião foi de 100 km, na direção Norte do Brasil. 2) A área da residência a ser construída é de 120,00 3) A força necessária para colocar uma caixa de 10 kg em uma prateleira é de 100 N. 4) A velocidade marcada no velocímetro de um automóvel é de 80 km/h. 5) Um jogo de futebol tem um tempo de duração de 90 minutos. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. a) vetorial, vetorial, escalar, vetorial, escalar. b) vetorial, escalar, escalar, vetorial, escalar. c) escalar, escalar, vetorial, vetorial, escalar. d) vetorial, escalar, vetorial, vetorial, escalar. e) escalar, escalar, vetorial, escalar, escalar. Resolução: 1) deslocamento 2) área 3) força 4) velocidade 5) tempo R- E 04- (UESC - BA) Desprezando-se a força de resistência do ar, a aceleração de queda de um corpo nas proximidades da superfície terrestre é, aproximadamente, igual a 10 Nessas condições, um corpo que cai durante 3 segundos, a partir do repouso, atinge o solo com velocidade igual a v, após percorrer, no ar, uma distância h. Das grandezas físicas citadas, têm natureza vetorial: a) aceleração, velocidade e força; b) força, aceleração e tempo; c) tempo, velocidade e distância; d) distância, tempo e aceleração; e) velocidade, força e distância. Resolução: São grandezas de natureza vetorial todos aquelas que possuem módulo (intensidade), direção e sentido necessários para serem explicados (perfeitamente caracterizados). Como: aceleração, velocidade e força. R- A 05- (UFMG - MG) Uma pessoa sai para dar um passeio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: Sai de casa e anda 2 quarteirões para o Norte; dobra à esquerda andando mais 2 quarteirões para Oeste, virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais dois quarteirões para o Sul. Sabendo que cada quarteirão mede 50m, o deslocamento da pessoa é: a) 700 m para Sudeste b) 100 m para Oeste c) 100 m para Norte d) 700 m em direções variadas e) 0 m Resolução: R- B 06- (IFSULDEMINAS – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sul de Minas Gerais) Partindo-se da casa de Toninho, caminhando 200m na direção norte e 300m na direção leste, chega-se à escola onde Toninho estuda. Partindo-se da escola onde Toninho estuda, caminhando 600m na direção sul, chega-se à casa de seu amigo Pedro. Se Toninho seguir em linha reta, sem desvios, partindo de sua casa em direção à casa de seu amigo Pedro, ele irá percorrer uma distância de: a) 500m b) 800m c) 900m d) 1.100m Resolução: Abaixo está a esquematização das trajetórias. R- A 07- (ENEM - MEC) O gráfico mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A (2 ; 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no plano cartesiano. O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos. Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A? A) (0; 18) B) (18; 2) C) (18; 0) D) (14; 6) E) (6; 14) Resolução: Mantendo a sequência de trajetória fornecida, após 18 s, o robô está no ponto (14;6) R- D 08- (FUVEST - SP) Um viajante saiu de Araripe, no Ceará, percorreu, inicialmente, 1.000 km para o sul, depois 1.000 km para o oeste e, por fim, mais 750 km para o sul. Com base nesse trajeto e no mapa acima, pode-se afirmar que, durante seu percurso, o viajante passou pelos estados do Ceará, a) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo. b) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São Paulo. c) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo. d) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São Paulo. e) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo. Resolução: A escala gráfica dispõe que cada centímetro do mapa equivale a 250 quilômetros do terreno, o que facilita representar que facilita representar vetorialmente o percurso feito pelo viajante e, inclusive representar seu deslocamento vetorial (em azul). Dessa forma ele caminhou 1000 km para o Sul (direção fácil de identificar, pois o Norte está indicado no mapa), saindo do Ceará e passando por Pernambuco e Bahia. Nesse estado mudou de rumo e viajou 1.000 km para o Oeste, chegando a Goiás, a partir de onde rumou mais 750 km para o Sul, chegando ao estado de São Paulo. Nesse trajeto o viajante avistou os ecossistemas da Caatinga, do Cerrado e da Mata Atlântica. R- E 09- (CFT - CE) Dados os vetores “a”, “b”, “c”, “d” e “e” a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma Resolução: R- E 10- (CFT - CE) Para se posicionar frente ao gol adversário, um jogador efetua deslocamentos rápidos e sucessivos em linha reta, com módulos de 1,8 m e 2,4 m, deixando completamente para trás a defesa oponente. Para que o deslocamento resultante da bola seja de 3,0 m, o ângulo entre estes deslocamentos deve ser de: Resolução: R- D 11- (UnB - DF) Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a: Resolução: O ponteiro dos minutos denominado de vetor M tem módulo 10 cm origem no centro do relógio e direção variável. R- D 12- (PUC - RJ) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectivamente, 1 cm e 2 cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do centro do relógio e aponta na direção dos números na extremidade do relógio, determine o vetor resultante da soma dos dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e minuto quando o relógio marca 6 horas. a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio. b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio. c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio. Resolução: R- A 13- (FATEC - SP) O módulo da resultante da soma vetorial desses dois vetores, não pode ser: a) 4 N b) 10 N c) 15 N d) 20 N e) 25 N Resolução: Como não foi especificado a direção e o sentido desses dois vetores, eles podem ter qualquer direção e qualquer sentido. R- A 14- (UFC-CE) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados de lado L = 0,50 cm, estão desenhados dez vetores, contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros: a) 0,0 b) 0,50 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 Resolução: Observe que, se você mover os 5 vetores que estão em baixo um quadrado para cima, todos esses 10 vetores (os de cima e os de baixo) estarão conectados conforme o método da linha poligonal. Assim o vetor soma O vetor R- E 15- (MACKENZIE - SP) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular abaixo. O módulo do vetor resultante desses seis vetores é: a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero Resolução: Dividindo o hexágono conforme a figura abaixo e calculando o vetor soma (resultante) pelo método da linha poligonal em cima e em baixo, o vetor soma dos dois vetores de módulo 16u terá módulo S = 16u + 16u = 32u R- B 16- (URCAMP - RS) No sistema plano figurado, representamos os vetores R iguais em módulo. Calcule a intensidade do vetor soma. Resolução: Observe que o vetor de cima (módulo R, direção horizontal e sentido para leste) anula o vetor de baixo (módulo R, direção horizontal e sentido para oeste), então vamos tirá-los, sobrando os vetores da segunda figura abaixo. 17- (UEL - PR) Resolução: R- E 18- (UEG - GO) Resolução: 19- (PUC - BA) Quais destes pares têm a mesma resultante? Resolução: R- 2 e 3 20- (UFPB - PB) Resolução: R- D 21- (FATEC-SP) Analise as informações: Podemos afirmar que: a) são corretas apenas (I) e (II) b) são corretas apenas (II) e (III) (c) são corretas apenas (I) e (III) d) são todas corretas e) há apenas uma correta Resolução: Observe a figura abaixo onde os vetores foram decompostos: R- C Parte superior do formulário
Direção 
localização no espaço, fornecida pela reta suporte (S) do segmento. Exemplos:
Sentido dado pela seta. Exemplos:
Intensidade ou módulo composto pelo número e pela unidade de medida, ou seja, pelo comprimento do segmento, numa certa escala adotada. 
costuma ser representada por P (sem a seta) ou por 
e lê-se “intensidade ou módulo do vetor ”
A direção de um vetor também pode ser definida como sendo o ângulo que ele forma com a horizontal ou com a vertical.
da figura abaixo.
Dois ou mais vetores são iguais quando têm ao mesmo tempo mesma intensidade (módulo), mesma direção e mesmo sentido.
de intensidade V = 3 unidades (3u), pede-se:
. vetorial escalar vetorial vetorial escalar 
.
desses 10 vetores será o vetor obtido unindo o início do primeiro 1 com o final do último 2. (figuras abaixo)
tem 4 quadradinhos de lado igual a 0,5 cm então seu módulo (intensidade) será S = 4x0,5 S = 2,0 cm
