Velocidade de Escape

Essa velocidade mínima  (V_e) deve ser a velocidade  necessária para que um objeto, sem propulsão própria, saia da superfície da Terra e chegue no infinito com velocidade zero.

Assim, considerando:

G  constante gravitacional

M  massa da Terra

m  massa do objeto a ser lançado com velocidade V_e e que vai escapar do campo gravitacional

r = R  Distância entre o centro do planeta (Terra) e o ponto no qual a velocidade de escape está sendo calculada (superfície da Terra).

Vamos calcular:

Para o planeta Terra, substituindo os valores de G, M, e R que conhecemos, obtemos V_e ≈11,3 km/s que é a velocidade com que um corpo, sem propulsão própria deve sair da superfície da Terra para “libertar-se” de seu campo gravitacional.

O que você deve saber, informações e dicas

O valor da velocidade de escape não depende da massa do corpo que está sendo lançado mas apenas da massa do corpo central, no caso, a Terra e também não depende do ângulo de lançamento.

Exemplos de valores de velocidade de escape da superfície do planeta

Algumas moléculas que compõem a atmosfera terrestre atingem a velocidade de escape conseguindo sair da atmosfera para o espaço, particularmente as que possuem menor massa. Estima-se que a cada ano perde-se aproximadamente 500 kg de hidrogênio. Isto pode explicar, em parte, porque alguns planetas têm pouca atmosfera.

Como a velocidade de um corpo em órbita é dada por V=√(GM/R) e a velocidade de escape por V_e =√(2GM/R)  a velocidade de escape na altura R é √2 vezes maior que a velocidade em órbita circular na mesma altura.

Em função da aceleração da gravidade g, a velocidade de escape será dada por g = GM/r²    e  V_e = √(2GM/r)  V_e= √(2gr²/r)     V_e=√(2gr).

A expressão V_e = √(2GM/r) sugere que se existirem corpos celestes com massas tão grandes e raios tão pequenos de maneira que a velocidade de escape neles seja maior que a velocidade da luz c, a luz não escaparia à atração gravitacional deles.

 São chamados “buracos negros”.

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Velocidade de Escape

01-(UFBA) Sabemos que a velocidade de escape da Terra é aproximadamente 11km/s.

Entretanto, quando observamos o lançamento de um foguete, é fácil perceber que sua velocidade nos instantes iniciais é muito inferior a este valor. Por quê?

02-(UFB) O diâmetro médio da Terra é, aproximadamente, 2,6 vezes maior que o de Mercúrio. A massa de Mercúrio é 0,55 da massa da Terra. Calcule a razão entre a velocidade de escape na Terra (V_eT) e a velocidade de escape em Mercúrio (V_eM).

03-(UFB) Suponha que exista um planeta cuja massa seja cuja massa seja 4 vezes maior que a massa da Terra e cujo raio seja 4 vezes menor que o raio da Terra. Calcule a relação entre a velocidade de escape no Planeta e a velocidade de escape na Terra. 

04-(UFB) Considere um satélite em trajetória elíptica ao redor de um planeta. Qual é a relação entre suas energias cinética, potencial e mecânica quando o satélite estiver:

a) no afélio (apogeu)?                                                                

b) no periélio ( perigeu)?

05-(UFB) Com relação ao exercício anterior, o que aconteceria com essas energias se a órbita do satélite fosse circular?

06-(Uesb)- A aceleração da gravidade na superfície de um asteróide é igual a 3,0m/s². Se o raio do asteróide é igual a 500,0km, então, para que um foguete escape da atração gravitacional desse asteróide, ele deve ser lançado da sua superfície com uma velocidade, em km/s, de

07-(UFAL-AL)  Uma partícula é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra, atingindo uma altura máxima (em relação ao ponto de lançamento) igual ao próprio raio da Terra, R_T. Desprezando os atritos e o movimento de rotação terrestre, e denotando a aceleração da gravidade na superfície da Terra por g, com que velocidade a partícula foi lançada?

08-(UERJ-RJ) LEIA AS INFORMAÇÕES A SEGUIR PARA A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.

Buracos negros são corpos celestes, em geral, extremamente densos. Em qualquer instante, o raio de um buraco negro é menor que o raio R de um outro corpo celeste de mesma massa, para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no vácuo. 
Determine a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G.

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Velocidade de Escape

01- Porque o foguete tem propulsão permanente

02-  r_T=2,6r_M    M_M=0,55M_T  ---  V_eT/V_eM=√(2GM_T/2,6r_M)x√(r_M/2G0,55M_T)  ---  V_eT/V_eM=√1/0,55.2,6=√10²/143»10/12»0,83

03- V_e=√2GM/r  --- como M_P=4M_T  --- V_eP fica √4=2 vezes maior e como r_P=r_T/4  ---  V_eP fica também 2 vezes maior  --- V_eP=2.2V_eT  ---  V_eP=24V_eT 

04- a) No afélio, onde a velocidade é mínima, a energia cinética será também mínima e a energia potencial máxima. A energia mecânica que é a soma dessas duas energias é constante.

b)  No periélio, onde a velocidade é máxima, a energia cinética será também máxima e a energia potencial mínima. A energia mecânica que é a soma dessas duas energias é constante.

05- Todas as energias seriam constantes.

06- V_e=√2gr=√2.3.500.10³=√30.10⁵=√3km/s

07- Observe que, como a altura é muito grande haverá variação do campo gravitacional durante o movimento, e você não pode usar a expressão simplificada da energia potencial gravitacional E_P = mgh  ---  a expressão a ser usada é a da energia potencial com referencial no infinito  ---  E_P= - GMm/r  ---  sendo M a massa da Terra, m a massa da partícula lançada e r a distância da partícula ao centro da Terra  ---  observe a figura  ---  utilizando o princípio da conservação da energia mecânica  --- 

R- C

08- A partir da definição de velocidade de escape (v_e), obtém-se o raio máximo (R) em função da constante universal da gravitação (G), da massa do corpo celeste (M) e da velocidade de escape  ---  do enunciado  ---  E_C=E_P  ---  mV_e²/2=GMm/R  ---  R=2GM/V_e²  ---  do enunciado  ---  V_e=c  ---  M=Rc²/2G  --- volume máximo supondo o corpo celeste homogêneo e esférico  ---  V=4πR³/3  ---  densidade mínima do buraco negro  ---  ρ=M/V  ---  ρ=3c²/8πGR²