Satélites em Órbitas Circulares

 

Satélite  Qualquer objeto que gira em torno de um planeta em órbita circular ou elíptica.

 


O que você deve saber, informações e dicas

 

Observe pela expressão (V = √(GM/r) que, sendo G e M constantes, a distância r é inversamente proporcional à velocidade V, o que significa que, quanto mais afastado o

satélite estiver do planeta ou o planeta estiver do Sol, menor será sua velocidade orbital e que essa velocidade não depende da massa m do satélite.



O período (T) e a velocidade de translação (V) do satélite não dependem de sua massa m, dependendo apenas da massa M do corpo central e de sua distância r ao centro do mesmo.  

 

O mesmo é válido para planetas orbitando em torno do Sol. 



 

  Pela expressão da energia cinética Ec = GMm/2r, onde Ec é inversamente proporcional a r, concluímos que quanto maior for r, menor será Ec.

Assim a energia cinética do satélite é mínima no afélio e máxima no periélio.

Por outro lado, pelo teorema da conservação da energia mecânica (Ec+ Ep=constante) o contrário ocorre com a energia potencial gravitacional que é máxima no afélio e mínima no periélio.

 

Satélites geoestacionários  ou geosincrônicos(sincronizados com o movimento de rotação da Terra).

A maioria dos satélites de telecomunicações são satélites geoestacionários pois se encontram parados em relação a um ponto fixo sobre a Terra.

Seu período é o mesmo que o da Terra (24h), o raio de sua órbita é de, aproximadamente 36000km, tem a mesma velocidade angular (W) que a Terra e se encontram em órbitas sobre a linha do equador.                      

Acima da altura aproximada de 36000km o período do satélite aumenta e abaixo desse valor, diminui.

 

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Satélites em órbitas circulares

 

01-(UNICAMP-SP) Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas.

A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional F=GMm/r2que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se m=1,0.1030 kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale

106,7.-11 m2.F/kg-2.

 

 Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distânciar=1,6×1020 m do centro da galáxia.

 

02-(UFRS) O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua posição mais próxima do Sol (periélio) e, no ano de 2023,  atingirá sua posição mais afastada do Sol (afélio).

Assinale a opção correta:
a) Entre 1986 e 2023 a força gravitacional que o Sol aplica no cometa será centrípeta 
b) Entre 1986 e 2023 o cometa terá movimento uniforme 
c) No ano de 2041 a energia potencial do sistema Sol-cometa será máxima
d) Ao atingir o afélio, no ano de 2023, a energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa será máxima

 

03-(INATEL-MG) Um satélite permanece em órbita circular terrestre  de raio R com velocidade tangencial V. Qual deverá ser a velocidade tangencial desse satélite para permanecer em órbita circular lunar de mesmo raio R? Considere a massa da Lua 81 vezes menor que a massa da Terra.

 

04-(UNICAMP-SP) Um míssil  é lançado horizontalmente em órbita circular rasante à superfície da Terra. Adote o raio da Terra  R=6400km, massa da Terra M=6,0.1024 kg, a constante de gravitação G=6,7.10-11 Nm2/kg2  e, para simplificar, tome 3 como valor aproximado de p.

 

a) Qual é a velocidade de lançamento?

b) Qual é o período da órbita?

 

05-(FUVEST-SP) Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo G a constante de gravitação universal, expresse a massa específica (densidade média) da Terra em função de T e G.

 

06-(UF-ES) Dois satélites descrevem órbitas circulares em torno da Terra.

O raio da órbita do satélite mais afastado da Terra é o dobro do raio da órbita do satélite mais próximo. Considere que Va e Vf são, respectivamente, os módulos das velocidades do satélite afastado e do satélite próximo. A relação entre esses módulos é:


07-(UF-MG) Dois satélites artificiais, R e S, estão em órbitas circulares de mesmo raio, em torno da Terra.

A massa do satélite R é maior que a do satélite S. Com relação ao módulo das velocidades, VR e VS, e dos períodos  de translação, TR e TS, pode-se afirmar que:

a) VR <  VS  e TR  = TS          

b) VR  < VS  e TR  >   TS         

c) VR =  VS  e TR  =TS          

d) VR =  VS  e TR  >  TS         

e) VR >  VS  e TR  >  TS

 

08-(CESGRANRIO-RJ)  Dois satélites, A e B, giram ao redor da Terra em órbitas circulares. O raio da Terra é R e as alturas das órbitas dos satélites, em relação à superfície terrestre, são, respectivamente, HA=R e HB=3R. Sendo aA e aB os módulos das acelerações vetoriais dos satélites em órbita, então é correto afirmar que:


09-(FUVEST-SP) Um satélite artificial se move em órbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a cidade de Macapá. Qual é o seu período?

 

10-(FUVEST-SP) Satélites utilizados para telecomunicações são colocados em órbitas geo-estacionárias ao redor da Terra, ou seja,  de tal forma que permaneçam sempre acima de um mesmo ponto da superfície da Terra. Considere algumas condições que deveriam corresponder a esses satélites:

I.    Ter o mesmo período, de cerca de 24 horas.

II.   Ter aproximadamente a mesma massa.

III.  Estar aproximadamente à mesma altitude.

IV.  Manter-se num plano que contenha o círculo do equador terrestre.

O conjunto de todas as condições que satélites em órbitas geo-estacionárias devem necessariamente obedecer corresponde a:

a) I e III         

b) I, II e III         

c) I, III e IV         

d) II e III         

e) II e IV

 

11-(UFG)  Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento,

(A) o período depende de sua massa.

(B) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento.

(C) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita.

(D) a energia cinética é máxima no afélio.

(E) a energia cinética é máxima no perigeu.

 

12-(UPE-PE)  A figura a seguir representa a trajetória de duas estrelas idênticas (cada uma com

massa M) que giram em torno do centro de massa das duas estrelas. Cada órbita é circular e possui raio R, de modo que as duas estrelas estão sempre em lados opostos do círculo. Considere G a constante de gravitação universal.

Analise as proposições que se seguem.

 soma dos números entre parênteses das proposições que corresponde aos itens corretos é igual a


13-(FGV-RJ) Muitos satélites utilizados em telefonia, transmissões de rádio e TV, internet e outros serviços de telecomunicações ocupam a órbita geoestacionária. Nesta órbita, situada no plano da

linha do equador, os satélites permanecem sempre acima de um mesmo ponto da superfície terrestre, parecendo parados para um observador no equador. A altura de um satélite geocêntrico, em relação à superfície da Terra, em órbita circular, é aproximadamente igual a

Dados: G = constante de gravitação universal; M = massa da Terra; R = raio da Terra = 6, 4.106m; (G M / 4 π2)1/3 = 2,2.104ms-2/3; (24 horas)2/3 = 2,0.103 s2/3


14-(UNICAMP-SP) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da Gravitação Universal, e dela pode-se

obter a aceleração gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M , dada por g=G.M/d2 sendo G = 6,7.10-11Nm2 /kg2 a constante de gravitação universal. Sabendo-se o valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superfície da Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, MT = 6,0.1024 kg.

A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra é igual a g = 0,25m/s2.

A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de

a) 1,7.103 km.                            

b) 4,0.104 km.                           

 c) 7,0.103 km.                                  

d) 3,8.105 km. 

 

15-(UEMG-MG)

A figura a seguir representa dois satélites artificiais em órbita, em torno da Terra.

Baseando-se nas leis de Kepler, e diante da representação mostrada, É CORRETO afirmar que

A) os satélites 1 e 2 possuem a mesma velocidade.

B) o satélite 2 percorre uma distância maior que o satélite 1, num mesmo intervalo de tempo.

C) o satélite 2 leva mais tempo que o satélite 1 para dar uma volta completa em torno da Terra.

D) os satélites 1 e 2 dão uma volta completa em torno da Terra no mesmo intervalo de tempo.

 

16-(UNICAMP-SP)

Em 2011 o Atlantis realizou a última missão dos ônibus espaciais, levando quatro astronautas à Estação Espacial Internacional.

a) A Estação Espacial Internacional gira em torno da Terra  numa órbita aproximadamente circular de raio R = 6800 km e

completa 16 voltas por dia. Qual é a velocidade escalar média da Estação Espacial Internacional?

b) Próximo da reentrada na atmosfera, na viagem de volta, o ônibus espacial tem velocidade de cerca

de 8000 m/s, e sua massa é de aproximadamente 90 toneladas. Qual é a sua energia cinética?

 

17-(FGV-SP)

 

Curiosamente, no sistema solar, os planetas mais afastados do Sol são os que têm maior quantidade de satélites naturais, principalmente os de maior massa, como Júpiter e Saturno, cada um com mais de 60 satélites naturais.

Considere 2 satélites A e B de Júpiter. O satélite A dista R do centro de Júpiter e o satélite B dista 4R do mesmo centro. Se A demora n dias terrestres para completar uma volta em torno de Júpiter, o número de dias terrestres em que B completa uma volta em torno do mesmo planeta é

 

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Satélites em órbitas circulares


01- F=mV2/r  ---  4.1019.1,6.1020=1030V2  ---  V=√64.108  ---  V=8,0.104m/s


02- Observe pela expressão EP= - GMm/R que, como GMm é constante, a energia potencial é máxima no afélio (maior R) e mínima no periélio (menor E). R D


03- mT=81mL  ---  Terra VT=√GmT/R =√G81mL/R  ---  V­L=√GmL/R  ---  VT/VL=9√GmL/Rx1/√GmL/Rx  ---  VL=V/9


04- a) V=√Rg  ---  V=√(64.105.10)  ---  V=8.103m/s=8km/s.

       b) V=2πR/T  ---  T=2.3.6400/8  ---  T=6800s=1he20nin


05- T2/R3=4π2/GM  ---  d=M/V  ---  V=4/3πR3  ---  d=3M/4πR3  ---  d/3=M/4πR3=π/T2G  ---  d=3π/T2G


06- Ra=2Rf  ---  Va=√GMT/Ra  ---  Vf=√GMf/Rf  ---  Va/Vf=√GMT/√2Rf X√Rf/√GMT  ---  Va/Vf=1/√2  ---  Va=Vf/√2  R-B


07- Como T12/R13=T22/R23 e os raios são iguais, concluímos que T1=T2e pela expressão V=2πR/T, concluímos também que as velocidades são iguais. R-C


08- RA=2R  ---  RB=4R  ---  a=GM/R2  ---  aA=GM/4R2  ---  aB=GM/16R2  --- aA/aB=GM/4r2x16R2/GM  --- 

aA=4ab --- R-D


09- 24h (vide teoria)


10- C (vide teoria)


11- E (vide teoria)


12- Observe na figura as forças que atuam sobre cada estrela  --- - força de atração gravitacional

entre as duas estrelas de intensidade  ---  F=GMm/d2  ---  F=GMM/(2R)2  --- F=GM2/4R2  ---  a afirmativa 4 é verdadeira  ---  mas essa força é também a força resultante centrípeta de intensidade Fc=F=MV2/R (II)  ---  igualando (I) com (II)  ---  GM2/R2 = MV2R  ---  V=√GM/4R  ---  a afirmativa 8 é falsa  ---  V=ΔS/Δt  ---  V=2πR/T = √GM/4R  ---  4π2R2/T2=GM/4R  ---  T= 2πR√4R/GM  ---  T=4π√R3/GM  ---  a afirmativa 12 é verdadeira  ---  R- E


13- Dados  ---  R = 6,4.106 m  ---  (GM/4π2)1/3; 2,2.104 m.s-2/3  ---  T = 24 h = (24x3.600)s  ---  (24x3.600 s)2/3 = 2,2x103 s2/3  ---  a força gravitacional (FG) sobre o satélite é a força resultante centrípeta (FC)  ---  GMm/r2=mV2/r  ---  V2=GM/r (I)  ---  para efetuar uma volta completa ele percorre ΔS=2πr no intervalo de tempo Δt=T (período)  ---  V=2πr/T  ---  V2=4π2r2T2 (II)  ---  I = II  --- 

r = (2,2.104).(2.103) = 4,4.107 m = 44.106 m  ---  observe na figura que  ---  r=R + h  ---  h=r – R  ---  44.106 – 6,4.106  ---  h=37,6.106m  ---  h=37,6.103=37.600km  ---  R- A


14- Dados  ---  MT =  6,0.1024 kg  ---  G = 6,7.10-11 N.m2 /kg2  ---   g = 0,25 m/s2  ---  g=GM/d2  ---  25.10-2=6,7.10-11.6.1024/d2  ---  d=√(16.1014)  ---  d=4.107m=4.104km  ---  R- B

 

15- Leia atentamente a teoria abaixo:

Terceira lei de Kepler (lei dos períodos)  ---  “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias R ao Sol”  ---  T2/R3=constante=K’

* A constante K’ depende apenas da massa do Sol e não do planeta que gira ao seu redor

* Na expressão T2/R3=K’, observamos que a medida que R aumenta, T também aumenta, o que significa que quanto mais afastado o planeta estiver do Sol maior será seu ano (tempo que demora para dar um volta completa ao redor do Sol)

* Para dois planetas quaisquer como, por exemplo, Terra e Marte, vale a relação  TT2/RT3= TM2/RM3.

* Ao efetuar um volta completa ao redor do Sol num período (ano) T um planeta percorre ∆S=2πR e sua velocidade orbital vale V=∆S/T  ---  T=2πR/V, que substituída em T2/R3=K’ nos fornece  4π2R2/VR3=K’  ---  V=4π2/K’R  --- V=constante/R  ---  V é inversamente proporcional a R ou seja, quanto mais afastado o satélite ou planeta estiver, menor será sua velocidade orbital.

R- C.


16- a) Após completar uma volta completa a Estação Espacial Internacional percorre ∆S=2.π.R=2.3.6800  ---  ∆S=40800km  ---  aos 16 voltas completas percorre ∆S=16x40800  ---  ∆S=652800km  ---  Vm=∆S/∆t=652800/24  ---  Vm=27.200km/h

b) Ec=m.V2/2=9.104.(8.103)2/2  ---  Ec≈2,9.1012J


17- Terceira lei de Kepler (lei dos períodos)  ---   “Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias R ao Sol”  ---  T2/R3=constante=K’

O raio médio R da órbita de um planeta corresponde à média aritmética entre a distância do Sol ao afélio e a distância do Sol ao periélio  --- observe que esse valor é o mesmo que a medida do semi-eixo maior da elipse, que na figura acima seria a  ---  na expressão T2/R3=K’, observamos que a medida que R aumenta, T também aumenta, o que significa que quanto mais afastado o planeta estiver do Sol maior será seu ano (tempo que demora para dar um volta completa ao redor do Sol)  ---  para dois planetas quaisquer como,  por exemplo, Terra e Marte, vale a relação  T2T/R3T=T2M/R3M  ---  no caso do exercício  ---  T2A/R3A=T2B/R3B  ---   n2/R3 = T2B/(4R)3  ---  TB=64n2  ---  TB=8n  ---

R- D