Associação de Espelhos Planos

Espelhos planos angulares

Vamos tomar dois espelhos planos E₁ e E₂ que formam entre si um angulo α para o qual estão voltadas as suas superfícies refletoras e  colocar no interior desses espelhos um ponto objeto real P, luminoso ou iluminado.
Os raios de luz provenientes desse ponto sofrem reflexão regular, tanto no espelhos E₁ como no E₂, formando as respectivas imagens virtuais O₁ e O₂.
Por sua vez, os raios que se refletem em um dos espelhos, incidem no outro, cada ponto imagem funcionando como ponto objeto e, com isso, formando novas imagens virtuais.

Essas várias reflexões ocorrem até que as imagens se formem atrás de ambas as superfícies refletoras e que não podem mais servir de objeto para os espelhos (parte hachurada da figura da esquerda acima).

Portanto, para cada ângulo a existe um número determinado de imagens.

Observe na figura da direita acima que, qualquer que seja a posição do observador e do objeto (ambos entre os espelhos) o observador sempre enxergará as imagens (neste exemplo 3 imagens, ângulo de 90^o).

As imagens estão situadas numa mesma circunferência com centro no encontro dos dois espelhos.

Sendo n o número de imagens e α o ângulo entre os dois espelhos, a relação entre eles é fornecida pela expressão:

Esta equação só é válida em duas situações:

Se 360/α for par    para qualquer posição do objeto entre os espelhos.

 Se 360/α for ímpar    o objeto deve estar exatamente no plano bissetor do ângulo formado entre os dois espelhos

O que você deve saber, informações e dicas

n corresponde à imagem de um único objeto

  Se α = 90^o   n = (360/90) -1 = 3 imagens. Observe atentamente as figuras abaixo:

A imagem atrás do espelho corresponde à imagem das duas imagens.

Observe que a imagem frontal aos dois espelhos está de frente para o objeto e que objeto e imagem frontal não são reversos ou revertidos, ou seja, não trocam direita pela esquerda mas são direitos e não invertidos.

Assim, se o objeto for BOCA, a imagem frontal também será BOCA.

Observe também nas figuras abaixo que, dependendo da maneira como os espelhos formam ângulos

de 90^o entre si, obtém-se imagens diferentes

Se α =180^o, teremos 1 imagem (um único espelho).

 Se α = 60^o, teremos n = 360/60 – 1   n = 5 imagens (figuras abaixo).

Na figura da direita acima todas as faces do cubo tem o símbolo e a face que está voltada para o espelho tem cor amarela.

Observe que, das 5 imagens formadas, apenas nas 2, 3 e 4 aparecem a face voltada para o espelho e apenas nas 2 e 4 o símbolo está escrito corretamente.

Periscópio

Equipamento óptico, que permite observar um objeto ou conjunto de objetos por cima de obstáculos que impedem sua visão direta.

O raio de luz emitido pelo objeto reflete no 1^o espelho, atinge o 2^o e, após se refletir nele atinge o olho do observador, fazendo com que ele enxergue objetos que não estão ao nível de seu olho.

Esses dois espelhos planos que constituem o periscópio fornecem, a partir da luz proveniente de um objeto real, uma imagem final P’’ virtual, do mesmo tamanho do objeto e não reversa (não troca direita pela esquerda) e nem invertida (não troca cima por baixo).

Já no sistema óptico ao lado, não se trata de um periscópio e a imagem final conjugada é invertida

(troca cima por baixo) e reversa (troca direita pela esquerda), mas mantém as mesmas dimensões do objeto.

Espelhos planos paralelos

Observe atentamente a sequência de imagens da figura baixo e analise, procurando entender as

distâncias fornecidas entre os espelhos e as respectivas imagens.

Lembre-se de que o observador objeto enxerga apenas as imagens que estão à sua direita (sentido de seus olhos)

Quando uma foto de um casal é tirada entre dois espelhos planos verticais que formam um ângulo de 60^o entre si, a quantidade de indivíduos que aparecem na chapa é de 12 pessoas.

Isso ocorre porque a expressão n = 360/α – 1 só é válida para um objeto.

Assim, para um objeto o número de imagens será   n=360/60 – 1    n = 5 imagens de um único objeto. 

Como temos 2 indivíduos aparecerão 10 imagens + os  2 objetos    na foto aparecem 12 indivíduos.

Se dois espelhos planos verticais formam um ângulo de 120^o entre as duas superfícies não espelhadas conforme a figura (1) e um observador se encontrar no ponto A, quantas imagens completas de si mesmo ele verá?

Observe que o ângulo entre os dois espelhos planos é α = 360 – 120 = 240^o e que o ponto A está no plano bissetor (figura 2)    n = 360/α – 1    n = 360/240 – 1 = 1,5 – 1 = 0,5, ou seja, nenhuma imagem. 

Ou ainda, observe nas figuras abaixo que o observador que está no ponto A está fora de seu campo

visual no espelho E’ (figura 1) e também no espelho E (figura 2).

Localização geométrica da imagem de um objeto vista através de um periscópio

Uma criança observa um passarinho com um periscópio composto de dois espelhos planos E, paralelos e inclinados de 45^o (figura).

O representa o olho da criança e o ponto P, o passarinho.

Localize a imagem do passarinho vista pela criança por meio desse periscópio.

Observe as figuras abaixo onde a primeira imagem P’ (conjugada pelo espelho E) funciona como objeto para o espelho E’, originando a imagem P’’, que é vista pelo observador (figura da esquerda) e

os raios de luz que possibilitam essa visualização estão na figura da direita.

Esses dois espelhos planos que constituem o periscópio fornecem, a partir da luz proveniente de um objeto real (no caso, o passarinho), uma imagem final P’’ virtual, do mesmo tamanho do objeto e não reversa (não troca direita pela esquerda).

Questão interessante:

Numa sala, onde foram colocados espelhos planos em duas paredes opostas e no teto, um rapaz observa a imagem do desenho impresso nas costas da sua camisa.

A figura 1 mostra a trajetória seguida por um raio de luz, do desenho ao rapaz, e a figura 2, o desenho impresso nas costas da camiseta.
Explique como será a imagem vista pelo rapaz.

Lembre-se de que os espelhos planos produzem imagens reversas ou seja, trocam direita pela esquerda em espelhos verticais (inversão horizontal) e trocam cima por baixo em espelhos horizontais (inversão vertical).

Assim, veja a sequência abaixo:

Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre  

Associação de Espelhos Planos

01-(UFPR) Um objeto luminoso está colocado entre dois espelhos planos coaxiais que formam entre si um ângulo de 24^o.Determine o número de imagens formadas e a posição em que deve se colocar o objeto entre os dois espelhos.

02-(UEL) Dois espelhos planos que formam entre si um ângulo β, fornecem 8 imagens de um ponto luminoso colocado no plano bissetor do ângulo formado entre eles. Determine esse ângulo.

03-(Cefet-CE) Observando as imagens formadas por dois espelhos planos de um objeto entre eles colocado, Syned, um curioso aluno, verifica que, para determinado ângulo, formam-se 5 imagens, entretanto, fazendo variar o ângulo entre os espelhos, o número de imagens diminui. Pode-se concluir que:

a) o ângulo era inicialmente de 60°, e o ângulo entre os espelhos estava aumentando

b) o ângulo era inicialmente de 30°, e o ângulo entre os espelhos estava aumentando

c) o ângulo era inicialmente de 60°, e o ângulo entre os espelhos estava diminuindo

d) o ângulo era inicialmente de 72°, e o ângulo entre os espelhos estava diminuindo

e) o ângulo era inicialmente de 72°, e o ângulo entre os espelhos estava aumentando

04- Ufpel-MG) Os espelhos planos podem ser associados, isto é, colocados lado a lado em ângulo ou dispostos paralelamente entre si. Há a possibilidade de essas associações deslocarem ou multiplicarem o número de imagens de um objeto.

Baseado em seus conhecimentos sobre Óptica Geométrica, em relação às imagens produzidas entre dois espelhos planos em ângulo, é correto afirmar que

a) existe a formação de uma única imagem, para um ângulo de 180°, o que, na prática, significa um único espelho.

b) não haverá formação de imagens, quando o ângulo for de 0°, já que os espelhos ficam dispostos paralelamente.

c) a expressão n = 360°/α - 1 não apresenta limitações, fornecendo o número de imagens para qualquer ângulo α entre 0° e 360°.

d) haverá a formação de 6 imagens, se os espelhos estiverem dispostos perpendicularmente.

e) podem ser produzidas teoricamente infinitas imagens, desde que os espelhos fiquem dispostos paralelamente, ou seja, α = 180°.

05-(ESPM-SP) Uma foto de um casal é tirada entre dois espelhos planos verticais que formam um

ângulo de 60^o entre si. Qual é a quantidade de indivíduos que aparecem na chapa?

06-(Ufrgs-RS) A figura a seguir representa a vista frontal de Homer comendo em frente a dois espelhos planos, posicionados perpendicularmente entre si.

Assinale a alternativa que representa a imagem que Homer observa nos espelhos.

07-(FUVEST-SP) Dois espelhos planos verticais formam um ângulo de 120^o (figura)

Um observador está no ponto A. Quantas imagens de si mesmo ele verá?

08-(UFSCAR-SP) O ângulo formado entre dois espelhos planos angulares quando um único objeto é colocado entre eles é o quíntuplo do número de imagens obtidas.

a) Qual é o ângulo entre os espelhos?

b) Qual é o número de imagens formadas?

09-(UNICAMP-SP) Com apenas 6 soldados colocados entre dois espelhos planos verticais fixos, um diretor de cinema consegue fazer uma tomada que aparenta ter 72 soldados. Qual é o ângulo entre os espelhos?

10-(UFSCAR-SP) Uma criança observa um passarinho com um periscópio composto de dois

espelhos planos E, paralelos e inclinados de 45^o (figura)

O representa o olho da criança e o ponto P, o passarinho.

Localize a imagem do passarinho vista pela criança por meio desse periscópio.

11-(UNICAMP-SP) Dois espelhos planos e quase paralelos estão separados por 5,0 m. Um homem se coloca de frente a um dos espelhos, a uma distância de 2,0 m. Ele observa uma sequência infinita de imagens, algumas de frente, outras de costas.

a) Faça um esquema mostrando o homem, os espelhos e as quatro primeiras imagens que o homem vê.

b) Indique no esquema as imagens de frente e de costas. com as iniciais F e C.

c) Quais as distâncias entre as imagens consecutivas.

12-(UEL-PR) A figura abaixo representa dois espelhos planos, E₁ e E₂, que formam entre si um ângulo de 60º. Um raio de luz i incide em E₁ com ângulo de incidência de 40º. O raio refletido vai atingir E₂ com ângulo de incidência de

a)70º                   

b) 60º               

c) 40º             

d) 20º                 

e) 0º

13-(UFRN) Um raio luminoso incide sobre dois espelhos planos X e Y, dispostos em paralelo como mostra a figura abaixo.

Sendo N a normal ao espelho X no ponto de incidência do raio luminoso, é correto afirmar que os ângulos α e β medem, respectivamente,

A) 120^o e 60^o.                

B) 120^o e 30^o_.                

C) 150^o e 60^o.                

D) 150^o e 30^o.               

E) 100^o e 50^o

14-(FUVEST-SP) Em uma exposição, organizada em dois andares, foi feita uma montagem com dois espelhos planos E₁ e E₂, dispostos a 45° entre os andares, como na figura 1. Uma visitante, quando no andar superior, no ponto A, fotografa um quadro (Q), obtendo a foto 1, tal como vista no visor (fig. 1).

Essa visitante, ao descer as escadas, fotografa, no ponto B, o mesmo quadro através dos espelhos. A nova foto, tal como vista no visor, é

15-(Ufrj-RJ) Uma criança segura uma bandeira do Brasil como ilustrado na figura 1. A criança está diante de dois espelhos planos verticais A e B que fazem entre si um ângulo de 60°. A figura 2 indica seis posições, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, relativas aos espelhos. A criança se encontra na posição 1 e pode ver suas imagens nas posições 2, 3, 4, 5 e 6.

Em quais das cinco imagens a criança pode ver os dizeres ORDEM E PROGRESSO? Justifique a sua resposta.

16-(Ufrrj-RJ) Dois sistemas ópticos, representados a seguir, usam espelhos planos, ocorrendo as reflexões indicadas.

Após as reflexões, suas imagens finais são:

17-(FUVEST-SP) Espelhos conjugados são muito usados em truques no teatro, na TV etc. para aumentar o número de imagens de um objeto colocado entre eles. Se o ângulo entre dois espelhos planos conjugados for π/3 rad, quantas imagens serão obtidas?

18-(PUC-SP) O estudo da luz e dos fenômenos luminosos sempre atraiu os pensadores desde a antiga Grécia. Muitas são as aplicações dos espelhos e lentes, objetos construídos a partir dos estudos realizados em Óptica. A figura representa um periscópio, instrumento que permite a observação de objetos mesmo que existam obstáculos opacos entre o observador e uma região ou objeto que se deseja observar.

Considere que, nesse periscópio, E₁ e E₂ são espelhos planos.

A respeito do periscópio e dos fenômenos luminosos que a ele podem ser associados são feitas as afirmativas:

I. A colocação de espelhos planos, como indicada na figura, permite que a luz proveniente da árvore atinja o observador comprovando o princípio da propagação retilínea da luz.

II. O ângulo de incidência do raio de luz no espelho E₁ é congruente ao ângulo de reflexão nesse mesmo espelho.

III. Como os espelhos E₁ e E₂ foram colocados em posições paralelas, os ângulos de incidência do raio de luz no espelho E₁ e de reflexão no espelho E₂ são congruentes entre si.

Dessas afirmativas, está correto apenas o que se lê em

19-(CEFET) Dois espelhos planos, dispostos paralelamente, têm suas faces refletoras voltadas uma para a outra. Um raio de luz penetra na região entre os espelhos, fazendo um ângulo de 5,7° com a horizontal, conforme a figura. O número de reflexões que o raio sofre, até deixar a região entre os espelhos, é: (use tan 5,7° = 0,1).

a) 4                       

b) 5                        

c) 6                          

d) 7                         

e) 8

20-(UNIFESP-SP) Numa sala, onde foram colocados espelhos planos em duas paredes opostas e no teto, um rapaz observa a imagem do desenho impresso nas costas da sua camisa. A figura 1 mostra a trajetória seguida por um raio de luz, do desenho ao rapaz, e a figura 2, o desenho impresso nas costas da camiseta.
A imagem vista pelo rapaz será

21-(UFF-RJ) Para comprovar, em caráter rudimentar, o funcionamento de um periscópio, constrói-se um dispositivo utilizando uma caixa preta e dois espelhos planos. Em duas laterais opostas da caixa são feitas aberturas e, em cada uma das regiões I e II, coloca-se um espelho plano. Um feixe de luz, proveniente de uma fonte, incide perpendicularmente à lateral da caixa, seguindo o trajeto parcialmente representado na figura a seguir.

Identifique a opção que melhor representa a correta colocação dos espelhos, permitindo o funcionamento do periscópio.

22-(UFSCAR-SP) Dois espelhos planos verticais são montados em ângulo reto, conforme a figura.

Um observador segura um livro de FÍSICA L aberto na posição normal de leitura e, por cima dele, observa a imagem refletida, na qual lê:

23-(CESGRANRIO-RJ) Um periscópio é formado por dois espelhos planos paralelos, dispostos como mostra a figura. As setas na figura representam o caminho de um raio luminoso que, ao sair do periscópio, incide no olho de um observador. Diante do espelho superior coloca-se um cartaz com a palavra JÁ escrita. Um observador que olha normalmente ( e não através do periscópio) para o cartaz verá a palavra JÁ.

Escreva como um observador, olhando através do periscópio verá essa palavra.  

24-(UNESP-SP) A figura representa um objeto AB, dois espelhos planos, E₁ e E₂ inclinados 45^o  em relação à horizontal, e um observador O. A luz que sai de AB reflete-se em E₁ e E₂, antes de atingir o olho do observador O.

Assinale qual das alternativas melhor representa a imagem AB vista pelo observador O.

25-(FUVEST-SP) Dois espelhos planos, sendo um deles mantido na horizontal, formam entre si um ângulo A.  Uma pessoa observa-se através do espelho inclinado, mantendo seu olhar na posição horizontal.

Para que ela veja a imagem de seus olhos, e os raios retornem pela mesma trajetória que incidiram, após reflexão nos dois espelhos (com apenas uma reflexão no espelho horizontal), é necessário que o ângulo A seja:

a) 15^o                     

b) 30^o                    

c) 45^o                     

d) 60^o                     

e) 75^o

26-(UFRJ-RJ) As superfícies refletoras de dois espelhos planos, E₁ e E₂, formam um ângulo α. O

valor numérico deste ângulo corresponde a quatro vezes o número de imagens formadas.

Determine α.

27-(PUC-SP) Um aluno colocou um objeto “O” entre as superfícies refletoras de dois espelhos planos associados e que formavam entre si um ângulo θ, obtendo n imagens.

Quando reduziu o ângulo entre os espelhos para θ/4, passou a obter m imagens. A relação entre m e n é:

(A)   m = 4n + 3         

(B)   m = 4n - 3          

(C)   m = 4(n+1)         

(D)   m = 4(n - 1)          

(E)   m = 4n

 28-(UNESP-SP)

Sejam dois espelhos planos (E₁ e E₂), posicionados verticalmente, com suas faces espelhadas voltadas uma para outra, e separados por uma distância d, em centímetros. Suspensos por finas linhas, dois pequenos anéis (A e B) são posicionados entre esses espelhos, de modo que as distâncias de A e B ao espelho E₁ sejam, respectivamente, a e b, em centímetros, e a distância

vertical entre os centros dos anéis seja h, em centímetros, conforme mostra a figura.

Determine o ângulo de incidência α, em relação à horizontal, em função de a, b, d e h, para que um feixe de luz atravesse o anel A, se reflita nos espelhos E_1, E₂ e E₁ e atravesse o anel B, como indica o percurso na figura. Admita que os ângulos de incidência e de reflexão do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais.

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Associação de espelhos planos

 01- n=360/α – 1  ---  n=360/24 – 1  --- n=15 – 1  ---  n=14 imagens  ---  no plano bissetor do ângulo formado entre os dois espelhos.

02- n=360/β – 1  ---  8=360/β – 1  ---  360/β=9  ---  β=40^o 

03- R- A (veja teoria)

04- R – A  (veja teoria)

05- A expressão n=360/α – 1 só é válida para um objeto  ---  n=360/60 – 1  ---  n=5 imagens  ---  2 indivíduos – 10 imagens + os  2 objetos  ---   na foto aparecem 12 indivíduos.

06- A imagem frontal aos dois espelhos está de frente para o objeto e objeto e imagem frontal não são reversos ou revertidos, ou seja, não trocam direita pela esquerda.

R- A

07- Observe que o ângulo entre os dois espelhos planos é α=360 – 120=240^o e que o ponto A está no plano bissetor ---   n=360/α – 1  ---  n=360/240 – 1=1,5 – 1=0,5, ou seja, nenhuma imagem 

ou ainda, observe nas figuras abaixo que o observador que está no ponto A está fora de seu campo visual no espelho E’ (figura 1)

 e E (figura 2).

08- b) α=5n  ---  n=360/α – 1  ---  n=360/5n – 1  ---  n + 1=360/5n  ---  n² + n -72=0  ---  n=(-1 + 17)/2  ---  n= 8 imagens

a) α=5.8  ---  α=40^o

09- São 72 soldados no filme menos 6 soldados objetos=66 soldados imagens de 6soldados objetos  ---   regra de três  ---  6 objetos – 66 imagens – 1 objeto – n=66/6=11 imagens  ---  n=360/α – 1  ---  11=360/α – 1  ---  α=360/12  ---  α=30^o

10- Observe as figuras abaixo onde a primeira imagem P’ (conjugada pelo espelho E) funciona como objeto para o espelho E’,

originando a imagem P’’, que é vista pelo observador (figura da esquerda) e os raios de luz que possibilitam essa visualização estão na figura da direita. Esses dois espelhos planos que constituem o periscópio fornecem, a partir da luz proveniente de um objeto real (no caso, o passarinho), uma imagem final P’’ virtual, do mesmo tamanho do objeto e não reversa (não troca direita pela esquerda).

11- a), b) e c)

12- R- D  (observe a figura abaixo)

13- R – B  (veja figura abaixo)

14- Como a imagem da foto do quadro é invertida e reversa, o quadro original Q, que é o objeto, e que terá a seguinte aparência . O sistema de espelhos deixa a imagem desse objeto, invertendo-o e revertendo-o conforme a figura a seguir .

A máquina fotográfica capta a imagem anterior, invertendo-a e revertendo-a novamente e deixando-a como na figura a. R- A

15- Na figura abaixo todas as faces do cubo tem o símbolo e a face que está voltada para o espelho tem cor amarela.

Observe que, das 5 imagens formadas, apenas nas 2, 3 e 4 aparecem a face voltada para o espelho e apenas nas 2 e 4 o símbolo está escrito corretamente, que no exercício corresponde às imagens 3 e 5.

16- Observe que o sistema A corresponde a um periscópio onde a imagem do objeto é idêntica ao mesmo e de mesmas dimensões. O sistema B não é um periscópio, formando uma imagem invertida (troca cima por baixo) e reversa ou revertida (troca direita pela esquerda) - R- B

17- Regra de três  ---  π rad – 180^o  ---  π/3 rad – α  ---  180.π/3=πα  ---  α=60^o  ---  n=360/60 – 1  ---  n= 5 imagens  R- C

18- R- E  (veja teoria)

19- tag5,7=cateto oposto/cateto adjacente  ---  0,1=x/1,00  ---  x=0,1m  ---  observe na figura abaixo que para cada reflexão temos

0,2m. Assim, 1,00/0,2=5 reflexões  R- B

20-

R- B

21- R- A  (veja teoria)

22- O número de imagens n, para α=90^o vale  ---  n=(360/90) -1 = 3 imagens  ---  observe atentamente na figura abaixo o objetos

e as posições de suas respectivas imagens  ---  a imagem atrás do espelho corresponde à imagem das duas imagens  ---  observe que a imagem frontal aos dois espelhos está de frente para o objeto e que objeto e imagem frontal não são reversos ou revertidos, ou seja, não trocam direita pela esquerda mas são direitos e não invertidos  ---  assim. se o objeto for FÍSICA, a imagem frontal também será FÍSICA  ---  R- C

23- R- JÁ  Periscópios fornecem sempre imagens direitas, virtuais, não revertidas e de mesmas dimensões que o objeto.

24- R- D  (veja resposta 16 – sistema B)

25- Para que os raios de luz retornem pela mesma trajetória que incidiram, eles devem incidir no espelho horizontal com ângulo

de 90^o e, pela figura abaixo observa-se que a alternativa correta é a C.

26- Observe que  α = 4 n  ---  o número de imagens (n) obtidas pela associação de dois espelhos planos que formam entre si um ângulo α (em graus) é dado pela expressão  ---  n=(360/ α) – 1  ---  n=(360/4n) – 1  ---  n² + n -90=0  ---  n=-1 ± √(1² + 360)/2  --- 

n= (- 1 ± 19)/2  ---  desprezando a resposta negativa  ---  n=9  ---  α=4n  ---  α=36^o

27- A expressão que fornece o número de imagens n em função do ângulo θ entre os espelhos é  ---  n=360/θ – 1 ( I )  ---  para o ângulo θ/4 o número de imagens será m tal que  ---  m=360/(θ/4) – 1  ---  m=1440/θ – 1 ( II )  ---  isolando θ em ( I )  --- 

n + 1 = 360/θ  ---  θ=360/(n + 1)  ---  isolando θ em ( II )  ---  m +  1=1440/θ  ---  θ=1440/(m + 1)  ---  igualando-as  --- m

360/(n + 1)= 1440/(m + 1)  ---  4(n + 1)=m + 1  ---  4n + 4=m + 1  ---  m=4n + 3  ---  R- A

28-(UNESP-SP)

 O enunciado pede para admitir que os ângulos de incidência e de reflexão do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais  ---  isso significa que os ângulos de incidência e de reflexão do raio de luz são iguais sendo que o mesmo deve acontecer com os ângulos alternos internos (veja figura)  ---  observe que, se você dividir a distância h nas 4 partes indicadas, você terá que h=h₁ + h₂ + h₃ +

h₄  ---  h= atgα + dtgα + dtgα + btgα  ---  h=tgα(a + 2d + b)  ---  tgα=h/(a + 2d + b)  ---  α=arctg[h/(a + 2d + b)].