Função horária da velocidade e da aceleração do MHS

Função horária da velocidade V

No MCU (movimento circular uniforme) o vetor velocidade é sempre tangente em cada ponto e no sentido do movimento.

Observe, na figura acima, que a velocidade V do MHS é a projeção da velocidade V_MCU sobre o eixo da elongação X.

No triângulo da direita, obtemos sen φ = V/V_MCU     V = - V_MCU.sen φ  o sinal negativo é devido ao fato de o sentido de V ser contrário à orientação positiva do eixo 0X.

Mas, do MCU, temos que V_MCU = w.R, sendo w a pulsação (velocidade angular) e R o raio da circunferência que é igual à amplitude A.

Ainda do MCU, temos que, φ = φ _o + w.t.       

Portanto  V = - V_MCU.sen φ  V = - w.A.sen(φ _o + w.t) ( função horária da velocidade do MHS).

De V = - w.A.sen(φ _o + w.t) você obtém:

V é mínimo e vale –wA quando φ =π/2 rad, cujo seno é +1 v= - wAsen φ  v= -wAsen(π/2) v= -wA.(+1) v_mínimo= -wA.

V é máximo e vale + wA quando  φ =(3π/2) rad v= - wAsen φ   v= -wAsen(3p/2) v= -wA.(- 1) v_máximo= +wA.

Gráfico da velocidade em função do tempo.

Observe, na figura abaixo que, enquanto a partícula se move em MCU de φ =0 até φ =π rad, a velocidade do MHS (projeção da velocidade do MCU sobre X) é sempre negativa pois é contrária a

orientação positiva de X.e que:V₁=0 e V₅=0  (projeção sobre X é nula) e que V₃ tem módulo máximo e valor mínimo.

Analogamente, quando a partícula se move em MCU de π rad até 2π rad sua velocidade é sempre positiva e tem valor máximo em X=0 e é nula nos extremos.

Função horária da aceleração a

No MCU a aceleração a_c é a aceleração centrípeta, sempre radial e dirigida para o centro da circunferência.

A aceleração a do MHS é a projeção da aceleração a_c do MCU sobre o eixo X.

cos φ = a/a_c    a = - a_c.cosφ  (negativo porque as orientações de a e do eixo x são contrárias).                             

Do MCU     a_c = w².R     a_c= w².A  e   φ = φ_o + w.t a = -a_ccosφ  a = -w².A.cos(φ_o + w.t)   (função horária da aceleração do MHS)

Observe que, da função a = -w².A.cos(φ_o + w.t), você obtém:  

quando x=0   a = 0.

quando x= +A   a= -w²A  valor mínimo de a, pois φ = π rad e cos π = -1  a_mínimo= - w².A

quando x = - A    a = w²A   valor máximo de a, pois φ = 2π rad  e cos 2π = 1  

a_máximo = w².A

Gráfico aXt

Gráfico aXx

a = - w².A.cosφ   x = A.cosφ   a = - w².x

O que você deve saber, informações e dicas

Definições

Elongação (x)  posição (localização) da partícula em MHS sobre o eixo x em relação à origem 0, ou seja, mostra a que distância de 0 a partícula se encontra em determinado instante.

Amplitude (A)  em módulo é a elongação máxima do MHS e corresponde ao raio da circunferência do MCU (R = A).

Período (T)  corresponde ao tempo que o MCU demora  para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um “vai e vem” completo sobre a reta x.

Freqüência (f)  número de voltas completas (MCU) ou número de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo.

Ângulo de fase (φ)  posição (localização) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU.

Fase inicial (φ_o)  indica, no instante t = 0, o ângulo de fase inicial do MCU.

O ângulo de fase (φ) e a fase inicial (φ _o) são medidos em radianos (rad).

Velocidade angular ou pulsação (w)   mede no MCU o ângulo “varrido” na unidade de tempo e fornece o período ou a freqüência do MCU através das expressões w=2π/T ou w=2πf

Função horária da elongação  x = A.cos φ  ou   x = A.cos(φ_o + wt).

 x_máximo= + A 

 x_mínimo= - A 

Função horária da velocidade    v = -w.A.sen φ  ou   v = -w.A.sen(φ _o + wt)

v_máxima= +w.A

v_mínima= - w.A

Função horária da aceleração   a= - w².A.cos(φ _o + wt)   ou   a=-w². A.cos φ    

a_máxima= + w².A

a_mínima= - w².A

Velocidade v em função da elongação ou posição x    v = w.A² – x²

Aceleração a em função da posição ou elongação x   a= - w.x

Gráficos

Facilitando o entendimento

Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre

Função horária da velocidade e da aceleração do MHS

 1-(UFB)  A função horária da elongação de uma partícula em MHS é x = 4.cos(p + pt) SI.

a) a função horária da velocidade

b) a velocidade máxima e a velocidade mínima

c) o gráfico da velocidade em função do tempo

d) a função horária da aceleração

e) a aceleração máxima e a aceleração mínima

f) o gráfico da aceleração em função do tempo

g) o gráfico da aceleração a em função da elongação x

2-(UFCE) A figura a seguir mostra uma partícula P, em movimento circular uniforme, em um círculo de raio r, com velocidade angular constante w, no tempo t = 0.

A projeção da partícula no eixo x executa um movimento tal que a função horária vf(t), de sua velocidade, e expressa por:

a) vf(t) = w r

b) ) vf(t) = w r cos (wt +  j)

c) vf(t) = - w r cos (wt +  j)

d) vf(t) = - w r sen (wt +  j)

e) ) vf(t) =  w r sen (wt +  j)

3-(UFPB) Uma partícula material executa um movimento harmônico simples (MHS) em torno do ponto x = 0. Sua aceleração, em função da posição, é descrita pelo gráfico a seguir.

Nessas condições, a freqüência angular do MHS é:

a) 4 rad/s

b) 3 rad/s

c) 2 rad/s

d) 1 rad/s

e) 0,5 rad/s

4-(UFF-RJ) Medidores de tempo são, em geral, baseados em osciladores periódicos. Um exemplo mecânico simples de um desses osciladores é obtido com um carrinho, preso a duas molas ideais, que oscila, sem atrito, entre as posições x = ± L em torno da sua posição de equilíbrio x = 0, conforme ilustrado na figura 1.

Assinale o gráfico que melhor representa a aceleração do carrinho em função da sua posição x.

5- (MACKENZIE-SP) Um disco de 20cm de diâmetro gira uniformemente em torno de um eixo O, sobre um plano horizontal executando 60rpm. Perpendicularmente ao plano do disco, existe um anteparo, conforme figura.

Ao fixarmos um objeto cilíndrico de pequeno diâmetro. Perpendicularmente ao disco, num ponto de sua periferia, o mesmo passa a descrever um  MCU de freqüência igual a do disco Pede-se a máxima velocidade da sombra do objeto.

6-(MACKENZIE-SP) Uma partícula em MHS tem velocidade máxima 2,0pm/s. Se a amplitude do movimento é 20cm, seu período é de:

7-(PUC-SP) A figura abaixo representa uma senóide para t>0, indicando a velocidade do ponto P móvel na trajetória (0,x), em função do tempo.

a) sua velocidade inicial e sua fase inicial

b) sua pulsação (velocidade angular) e sua amplitude

c) a maior distância que ele alcança da origem

d) a aceleração máxima por ele adquirida

8-(UFCE) Um carrinho desloca-se com velocidade constante, v_o, sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme figura.

O carrinho choca-se contra uma mola de massa desprezível, ficando preso a ela. O sistema mola+carrinho começa então a oscilar em movimento harmônico simples, com amplitude de valor A. Determine o período de oscilação do sistema.

9-(Fuvest - SP) Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encontram-se presos à extremidade de uma mola e em repouso. Parte-se o fio que liga os corpos, e o corpo  passa a executar um movimento oscilatório, descrito pelo gráfico abaixo:

a) Determine a frequência, a amplitude e a pulsação do movimento de A.

b) Escreva a equação horária das posições Y do corpo A, conforme o gráfico.

10-(UNESP-SP) Um móvel com MHS obedece à função horária x=7.cos(p/2.t), onde x é medido em centímetros e em segundos. Calcule:

a) O tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima.

b) A velocidade máxima e a aceleração máxima

11-(UFMS) A figura 1 representa um sistema mecânico que ilustra o funcionamento de um motor a combustão, simplificado, com apenas três peças: virabrequim, biela e pistão. Essas três peças estão acopladas entre si, através de eixos articulados. Enquanto o virabrequim gira com velocidade angular constante, no sentido horário, a biela faz o pistão subir e descer num movimento oscilatório. A posição do pistão no eixo vertical y, é dada pela projeção do ponto de articulação entre a biela e o pistão sobre esse eixo.

Essa posição no eixo y, oscila entre as amplitudes +A e -A.

Chamemos de y, v_y e a_y, respectivamente, a posição, a velocidade e a aceleração do ponto de articulação entre a biela e o pistão.

Se iniciarmos a marcação do tempo t, quando a posição do ponto de articulação entre a biela e o pistão estiver na posição y = 0, como mostra a figura 1, assinale a alternativa que apresenta corretamente os gráficos correspondentes às posições y, às velocidades v_y e às acelerações a_y em função do tempo.

12-(UFPR-PR) 

A peça de uma máquina está presa a uma mola e executa um movimento harmônico simples, oscilando em uma direção

horizontal. O gráfico a seguir representa a posição x da peça em função do tempo t, com a posição de equilíbrio em x = 0.

Com base no gráfico, determine:

a) O período e a frequência do sistema peça-mola.

b) Os instantes em que a velocidade da peça é nula. Justifique a sua resposta.

c) Os instantes em que a aceleração da peça é máxima. Justifique a sua resposta.

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Função horária da velocidade e da aceleração do MHS

1-

a) A=4m      w=prad/s         j_o=prad

v= -wAsen(j_o + wt)  ---  v= -p.4.sen(p + pt)  ---  v= - 4p.sen(p + pt) 

b) v maxima  ---  v_máxima= w.A  ---  v_máxima= p.4  ---  v_máximo= +4pm/s

     v mínima  ---  v_mínima= -w.A  ---  v_mínima= -p.4  ---  v_mínima= - 4pm/s

c)

d) a= -w².A.cos(j_o + wt)   ---  a= -p².4.cos(p + pt)  ---  a= -4p².cos(p + pt) 

e) aceleração máxima  ---  a_máxima= w²A  ---   a_máxima= +4p² m/s²

    aceleração mínima  ---  a_mínima= - w²A ---   a_mínima= - 4p² m/s²

e)

f)

2- C

3-

a= -w²Acosj  ---  qdo x=A= 1  ---  j=p  ---   a= 4  ---  4 = -w².(1).cosp  ---  4 = -w².(1).(-1)  ---  w = Ö4  ---  w = 2 rad/s     

4- D

5-

R=A=20/2  ---  R=10cm                   f=60rpm=60/60  ---   f=1Hz  ---  T=1s

W=2p/T  ---  w=2p/1  ---  w=2p rad/s

V é máxima quando j=3p/2, sendo sen3p/2= - 1  ---  v= -w.A.senj  ---  v= -w.10.sen3p/2  ---  v= -2p.10.(-1)

V_max = 20p cm/s

6-

 V_máxima=2pm/s       ----     A=20cm=0,2m

V_máxima= w.A  ---  2p=w.0,2  ---  w=10prad/s  ---  w=2p/T  ---  10p=2p/T  ---  T=0,2s

7-

a) v_o=0 (vide gráfico)

     Como v=0 nos extremos, sua fase inicial ou é zero ou prad e observando o  gráfico verificamos que j_o=prad

b) T=ps (veja gráfico)  ---  w=2p/T  ---  w=2p/p  ---  w=2rad/s

v_máximo=10m/s (veja gráfico)  ---  v_máximo=wA  ---  10=2A  ---  A=5m 

c) é a amplitude, ou seja, 5m

d) a_máxima=w².A  ---  a_máxima=2².5  ---  a_máxima=20m/s²

8-

Quando o carrinho se choca com a mola, o módulo de V_o é máximo e vale v_máximo=w.A  ---   V_o=w.A  ---  V_o=2p/T.A  --

T=2pA/V_o

9-

a) Observe pelo gráfico que o período do movimento vale T=0,2s. Como a freqüência f é o inverso do período T, temos  f=1/T

   ---  f=1/0,2  ---  f=5Hz.

 A amplitude á a distância da origem ao ponto máximo. Logo, A=0,1m

 Pulsação - ou velocidade angular  ---  w=2p/T  ---  w=2p/0,2  ---  w=10prad/s. 

b) Equação da elongação ou da posição, na vertical é y=-Acos(j_o + wt)  ---  y= .0,1.cos(0 + 10pt)  ---  y= 0,1cos10p

j_o=0, pois, quando t=o, A=+0,1m (elongação máxima).  

10-

a) A=7cm  ---  w=p/2rad/s  ---  w=2p/T  ---  p/2=2p/T  ---  T=4s

 Para que o móvel vá da posição de equilíbrio até o ponto de elongação máxima, ele se move durante 1/4  de seu período, que é de 4s (tempo que demora para efetuar uma volta completa)   ---  t=T/4  ---  t=4/4  ---  t=1s

b) v_máxima=w.A=p/2.7  ---  v_máxima=3,5pcm/s

     a_máxima=w².A  ---  a_máxima=(p/2)².7  ---  a_máxima=1,75p²cm/s²

11- E

12- a) O gráfico fornece a posição da peça em função do tempo  ---  o período é o intervalo de tempo para que a situação cinemática se repete  ---  observe que isso ocorre a cada 4s  ---  portanto T=4s  ---  a frequência é o inverso do período  ---  f=1/T=1/4  ---  f=0,25 Hz

b) A velocidade da peça é nula nos instantes em que a elongação é máxima ou mínima, quando ocorre inversão no sentido do movimento, ou seja: t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s.

c) Os instantes em que a aceleração da peça é máxima (em módulo) são os instantes em a força elástica tem intensidade máxima. Como F = k |x|, a força é máxima onde a elongação é máxima ou mínima, ou seja: t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s.