Lei da Gravitação Universal de Newton

Isaac Newton, após minucioso estudo das Leis de Kepler, concluiu que toda dinâmica do sistema

solar era devido à forças de interação entre todos os elementos que o compunham ( Sol, planetas, satélites dos planetas, etc) e que eram essas forças que mantinham os planetas em órbitas. Denominou-as de forças gravitacionais e enunciou a lei de gravitação universal.

“matéria atrai matéria com forças cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto de

suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa”

Expressão matemática da lei da Gravitação Universal

O que você deve saber, informações e dicas

O valor da constante G não depende dos dois corpos, do meio onde eles se encontram nem da distância entre eles e seu valor no SI é G = 6,7.10^-11Nm²/kg²

Essas forças de atração entre dois corpos (planetas) obedecem ao princípio da ação e reação ou seja, tem sempre a mesma intensidade, mesma direção mas sentidos opostos e são forças de campo pois sua ação é a distância e não de contato.

Essa  força de atração tem sempre a mesma intensidade independente da massa do planeta, assim, apesar da massa da Terra ser muito superior à massa da Lua a intensidade da força com que

a Terra atrai a Lua é a mesma com que a Lua atrai a Terra.

A constante de gravitação universal G possui valor pequeno.

Para que a intensidade da força gravitacional seja considerável, é preciso que uma das massas seja muito grande. Essa é a razão pela qual a força de atração que prevalece entre os corpos próximos à superfície da Terra seja a força peso aplicada pela Terra, pois a massa da Terra é sempre muito maior

que a de qualquer corpo próximo a ela, fazendo com que o corpo se desloque em direção à Terra e não a Terra em direção ao corpo, apesar da força de atração entre os dois terem a mesma intensidade.

Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre a

lei da Gravitação Universal de Newton

01-(UFMG) Três satélites – I, II e III – movem-se em órbitas circulares ao redor da Terra.

O satélite I tem massa m e os satélites II e III têm, cada um, massa 2m .

Os satélites I e II estão em uma mesma órbita de raio r e o raio da órbita do satélite III é r/2.

:Sejam F_I , F_II e F_III módulos das forças gravitacionais da Terra sobre, respectivamente, os satélites I, II e III .

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que

A) F_I = F_II < F_III.

B) F_I = F_II > F_III .

C) F_I < F_II < F_III .

D) F_I < F_II = F_III

E) F_I =F_II=F_III

02-(PUC-SP) A intensidade da força gravitacional com que a Terra atrai a Lua é F. Se fossem duplicadas a massa da Terra e da Lua e se a distância que as separa fosse reduzida à metade, a nova força seria:

03-(FUVEST-SP) No sistema solar, o planeta Saturno tem massa  cerca de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão F_Sat/F_Tentre a força gravitacional com que o Sol atrai saturno e a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra é de aproximadamente:

04-(FUVEST-SP) A razão entre  as massas de um planeta e de um satélite é 81. Um foguete está a uma distância R do planeta e a uma distância r do satélite. Qual deve ser o valor da razão R/r para que as duas forças de atração sobre o foguete se equilibrem?

05-(UF-PB) A lei da Gravitação Universal de Newton expressa como a força  de atração entre dois corpos, de massas m e M, varia com a distância d entre eles. Considere um planeta de massa 8,1.10²⁴kg em órbita elíptica em torno de seu sol. Considere que a distância entre o Sol e o ponto de máxima aproximação (periélio) seja d_p=0,9.10¹¹m e que a distância entre o Sol e o ponto de máximo afastamento (afélio) seja d_a=1,0.10¹¹m. No periélio, a força de atração entre o Sol e o planeta é de 1,4.10²³N.

a) Desenhe, no  seu caderno, a figura que mostra a trajetória do planeta em torno do Sol, e indique a(s) força(s) que atua(m) sobre o planeta quando ele se encontra no afélio.

b) Determine a massa do Sol em torno do qual gira o planeta.

c)Determine a força de atração entre o Sol e o planeta, quando este se encontra no afélio. 

Considere G=7,0.10^-11Nm²/kg²

06-(UNICAMP-SP) Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas.

A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional F=GMm/r² que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância rda estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se m=1,0.10³⁰ kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale

106,7.^-11 m².F/kg^-2.

 Determine a massa M da galáxia.

07-(ITA-SP) Sabe-se que a atração gravitacional da Lua sobre a camada de água é a principal responsável pelo aparecimento das marés oceânicas na Terra.  Considere as seguintes afirmativas:

I. As massa de água próximas das regiões A e B experimentam marés altas simultaneamente.

II. As massas de água próximas das regiões A e B experimentam marés opostas, isto é, quando A tem maré alta, B tem maré baixa e vice-versa.

III. Durante o intervalo de tempo de um dia ocorrem duas marés altas e duas marés baixas.

Então, está(rão) correta(s), apenas:

a) a afirmativa I         

b) a afirmativa II          

c) a afirmativa III         

d) as afirmativas I e II         

e) as afirmativas I e III

08-(UDESC-SC)  A maré é o fenômeno natural de subida e descida do nível das águas, percebido principalmente nos oceanos, causado pela atração gravitacional do Sol e da Lua. A ilustração a seguir esquematiza a variação do nível das águas ao longo de

uma rotação completa da Terra. Considere as seguintes proposições sobre maré, e assinale a alternativa incorreta.

a) As marés de maior amplitude ocorrem próximo das situações de Lua Nova ou Lua Cheia, quando as forças atrativas, devido ao Sol e à Lua, se reforçam mutuamente. 

b) A influência da Lua é maior do que a do Sol, pois, embora a sua massa seja muito menor do que a do Sol, esse fato é compensado pela menor distância à Terra. 

c) A maré cheia é vista por um observador quando a Lua passa por cima dele, ou quando a Lua passa por baixo dele. 

d) As massas de água que estão mais próximas da Lua ou do Sol sofrem atração maior do que as massas de água que estão mais afastadas, devido à rotação da Terra. 

e) As marés alta e baixa sucedem-se em intervalos de aproximadamente 6 horas. 

09-(CFT-SC) 

Sobre a trajetória elíptica realizada pela Terra em torno do Sol, conforme ilustração acima, é correto afirmar que:

a) a força pela qual a Terra atrai o Sol tem o mesmo módulo da força pela qual o Sol atrai a Terra. 

b) o sistema mostrado na figura representa o modelo geocêntrico. 

c) o período de evolução da Terra em torno do Sol é de aproximadamente 24 horas. 

d) a velocidade de órbita da Terra no ponto A é maior do que no ponto C. 

e) a velocidade de órbita do planeta Terra independe da sua posição em relação ao Sol. 

10-(UFF-RJ) Antoine de Saint-Exupéry gostaria de ter começado a história do Pequeno Príncipe dizendo:

“Era uma vez um pequeno príncipe que habitava um planeta pouco maior que ele, e que tinha necessidade de um amigo …”

Considerando que o raio médio da Terra é um milhão de vezes o raio médio do planeta do Pequeno Príncipe, assinale a opção que indica a razão entre a densidade do planeta do Pequeno Príncipe, ρ_P, e a densidade da Terra, ρ_T, de modo que as acelerações da gravidade nas superfícies dos dois planetas sejam iguais.

 11-(UFV-MG)  Seja F o módulo da força da gravidade que o Sol faz sobre um cometa, de massa

constante, cujo período orbital é T (em anos). Dos gráficos adiante, aquele que representa CORRETAMENTE a variação de F com o tempo t é:

12-(UFPR-PR) Neste ano, comemoram-se os 400 anos das primeiras descobertas astronômicas com a utilização de um telescópio, realizadas pelo cientista italiano Galileu Galilei. Além de revelar ao mundo que a Lua tem montanhas e crateras e que o Sol possui manchas, ele também foi o primeiro a

 apontar um telescópio para o planeta Júpiter e observar os seus quatro maiores satélites, posteriormente denominados de Io, Europa, Ganimedes e Calisto.

Supondo que as órbitas desses satélites ao redor de Júpiter sejam circulares, e com base nas informações da tabela acima, assinale a alternativa correta. (Os valores da tabela foram arredondados por conveniência)

a) A força de atração entre Júpiter e Ganimedes é maior do que entre Júpiter e Io. 

b) Quanto maior a massa de um satélite, maior será o seu período orbital. 

c) A circunferência descrita pelo satélite Calisto é quatro vezes maior que a circunferência descrita pelo satélite Europa. 

d) A maior velocidade angular é a do satélite Calisto, por possuir maior período orbital. 

e) O período orbital de Europa é aproximadamente o dobro do período orbital de Io. 

13-(ETEC-SP)

A maçã, alimento tão apreciado, faz parte de uma famosa lenda ligada à biografia de Sir Isaac

Newton. Ele, já tendo em mente suas Leis do Movimento, teria elaborado a Lei da Gravitação Universal no momento em que, segundo a lenda, estando Newton ao pé de uma macieira, uma maçã lhe teria caído sobre sua cabeça.

Pensando nisso, analise as afirmações:

I. Uma  maçã  pendurada  em  seu  galho  permanece  em repouso,  enquanto  duas  forças de mesma intensidade, o seu peso e a força de tração do cabinho que a prende ao galho, atuam na mesma direção e em sentidos opostos, gerando sobre a maçã uma força resultante de intensidade nula.

II. Uma maçã em queda cai mais rápido quanto maior for a sua massa já que a força resultante, nesse caso chamada de peso da maçã, é calculada pelo produto de sua massa pela aceleração da gravidade.

III. A maçã em queda sofre uma ação do planeta Terra, denominada força peso, que tem direção vertical e o sentido para baixo, e a maçã, por sua vez, atrai a Terra com uma força de mesma intensidade e direção,        contudo o sentido é para cima.

É correto o que se afirma em

(A) I, apenas.               

(B) II, apenas.                 

(C) I e III, apenas.              

(D) II e III, apenas.                   

(E) I, II e III.

14-(UERJ-RJ)

Na tirinha abaixo, o diálogo entre a maçã, a bola e a Lua, que estão sob a ação da Terra, faz alusão a uma lei da Física.

Aponte a constante física introduzida por essa lei.

Indique a razão entre os valores dessa constante física para a interação gravitacional Lua-Terra e para a interação maçã-Terra

 15-(UNICAMP-SP)

Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo

 ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (R_T) mede 1,5.10¹¹m e que o raio da órbita de Júpiter (R_J) equivale a 7,5.10¹¹m.

A força gravitacional entre dois corpos de massas  m₁ e  m₂ tem módulo F_G = G.m₁.m₂/r², em que  r é a distância entre eles e G=6,7.10^-11N.m²/kg². Sabendo que a massa de Júpiter é m_J=2,0.10²⁷kg e que a massa da Terra é m_T=6,0.10²⁴kg, o módulo da força gravitacional entre Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é

Resoluções comentadas dos exercícios de vestibulares sobre a

Lei da  Gravitação Universal

01- GM=K (constante)  ---  F=GMm/R²  ---  F₁=Km/R²  ---  F₂=K2m/R²  ---  F₃=K8m/R²  ---  R- C

02- F=GMm/R²  ---  F’=G2M2m/R²/4  ---  16F=F’  ---  R- A

03- m_s100m_{t  ---}    F_s=GMm_s/R_s²  ---  F_t=GMm_t/R_t²  ---  F_s/F_t=GMm_s/R_s²x R_t²/GMm_t  ---  F_s/F_t=100m_t.R_t²/100R_t².m_t  --- F_s/F_t=1 --- R- C

04- m_p/m_s=81  ---  F_p=GMm_p/R²  ---  Fs=GMm_s/r²  ---  F_p=F_s  ---    GMm_p/R²= GMm_s/r²  ---  R²/r²=m_p/m_s=81  --- R/r=9 

R- C

05- a)

b) Massas, tanto do Sol quanto do planeta são iguais, independe do meio ou da posição. F=GMm/R²  ---  M=(1,4.10²³).(0,9.10¹¹)²/10^-11.7.8,1.10²⁴  ---  M=2,0.10³⁰kg

c) F_a=GMm/R²  ---  F_a=7.10¹¹.2.10³⁰.8,1.10²⁴/10²²  ---  F_a=1,134.10²³N

06- Pelo gráfico, quando F=4,0.10¹⁹N, o r será igual a 1,6.10²⁰m  ---  4.10¹⁹=6,7.10^-11.M.10³⁰/6,7.10^-11.10³⁰  ---  M=10,24.10⁵⁹/6,7.10¹⁹  ---  M»1,6.10⁴⁰kg

07- E (vide teoria)

08- A atração gravitacional entre massas não depende de nenhuma rotação  ---  R- D

09- Pelo princípio da ação-reação (3ª lei da Newton) o módulo da força de atração do Sol sobre a Terra é igual ao módulo da força de atração da Terra sobre o Sol  ---  R- A

10- R_T=10⁶R_P  --- a intensidade da aceleração da gravidade na superfície de um planeta homogêneo e esférico de raio R vale  ---   g=GM/R²  ---  ρ=M/V  ---  M=ρV  ---  volume do planeta  ---  V=4πR³/3  ---  M=ρ4πR³/3  ---  g=G ρ4πR³/3R²  ---  g= Gρ4πR/3  ---  do enunciado  ---  g_P=g_T  ---  Gρ_P4πR_P/3= Gρ_T4πR_T/3  ---  ρ_P/ρ_T=R_T/R_P  ---  ρ_P/ρ_T=10⁶R_P/R_P  ---  ρ_P/ρ_T=10⁶  ---  R- B

11- Observe que, como o movimento do cometa é periódico, sua órbita é elíptica  ---  assim, a distância do Sol ao cometa é variável  ---   força gravitacional sobre o cometa é dada pela lei de Newton da gravitação  ---  F=GM_Solm_cometa/d²  ---  como a distância entre eles varia, a força gravitacional também variará e terá intensidade mínima quando o cometa passa pelo seu afélio e intensidade

 máxima quando passa pelo seu periélio conforme você pode observar na figura acima.

  R- A

12- a) Falsa  ---  de acordo com a Lei de Newton da Gravitação, as forças gravitacionais trocadas entre duas massas M e m, distantes r entre si, é  ---  F=GMm/r²  ---  onde G é a constante de gravitação universal.   ---  aplicando essa expressão para as duas situações

b) Falsa  ---  pela terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período orbital (T) só depende do raio (r) da órbita  ---  T² = k r³  ---   independe da massa do satélite.

c) Falsa  ---  basta comparar os valores mostrados na tabela.

d) Falsa  ---   velocidade angular (W) é inversamente proporcional ao período  ---  W=2 π/T.

R- E

13- I. Correta  ---  como a maçã está em equilíbrio (repouso) presa ao galho a força resultante  sobre ela deve ser nula e, para

que isso ocorra seu peso  (vertical e para baixo) dever ser anulado pela força de tração  no cabinho.

II. Falsa  ---  sem atrito a maçã cai sujeita à aceleração da gravidade g, independente de sua massa (P=m.g – g é a mesma)  ---  assim,  desprezando-se os atritos,todos os corpos chegam com a mesma velocidade e ao mesmo tempo ao solo, independe de sua massa  ---   com atrito, a intensidade da força resultante sobre ela F_R=P – F_at=m.a.

III. Correta  ---  trata-se do princípio da ação e reação (forças trocadas entre o centro da Terra e a maçã).

R- C

14-Trata-se da lei da atração universal de Newton de definição “ Matéria atrai matéria na razão direta das massas e inversa ao quadrado da distância entre elas”  ---  sua expressão matemática é F=GMm/d2, onde G é denominada constante de gravitação universal de Newton de valor aproximado G≈6,7.10-11N.m2/kg2  ---  como G é uma constante universal ela tem sempre esse mesmo valor independentemente dos corpos que estão se atraindo e, é claro que a razão pedida é 1.

15-Força gravitacional entre Júpiter e Terra  ---  F_G=G.m_J.m_T/r²  ---  r=R_J - R_T = 7,5.10¹¹m – 1,5.10¹¹m  --- 

r=6,0.10¹¹m  ---F_G=6,7.10^-11.2,0.10²⁷.6,0.10²⁴/6,0.10¹¹  ---  F_G=80,4.10⁴⁰/6,0.10¹¹  ---  F_G=13,4.10²⁹ N  ---  F_G=1,34.10³⁰ N  ---  R- D