LANÇAMENTO OBLÍQUO

(Teoria e exercícios de vestibulares com resolução comentada)

Característica

Qualquer corpo lançado obliquamente (formando certo ângulo α com a horizontal), fica sujeito à uma única aceleração que é aceleração da gravidade (g), desprezados os atritos.

Decomposição do movimento oblíquo

O movimento oblíquo é decomposto num movimento segundo a direção horizontal (eixo X) e outro segundo a direção vertical (eixo Y).

Movimento parcial na direção vertical (eixo Y)

A projeção da aceleração da gravidade (), na direção vertical é o próprio .  Assim, na direção vertical tem-se um movimento uniformemente variado (MUV), ou seja, um lançamento vertical para cima, com aceleração igual à aceleração da gravidade  e velocidade inicial de lançamento V_oy, tal que V_oy=V_o.senα, onde α é o ângulo de lançamento..   

O que você deve saber (informações – dicas)

Equações:

Na subida, o movimento é progressivo, pois o deslocamento ocorre no sentido crescente da trajetória, e retardado, pois o módulo da velocidade está diminuindo.

Na descida, o movimento é retrógrado, pois o deslocamento ocorre no sentido decrescente da trajetória, e acelerado, pois o módulo da velocidade está aumentando.

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do corpo se anula (V_y = 0), pois é o ponto em que o corpo inverte o sentido de seu movimento e nesse ponto a altura atingida pelo corpo é máxima.

O tempo de subida é igual ao tempo de descida.

A velocidade (V_oy) de lançamento na origem é igual à mesma velocidade de chegada à origem, mas de sinal contrário (-V_oy).

Em qualquer ponto da trajetória o corpo tem duas velocidades de mesmo módulo, uma positiva na subida e uma negativa na descida.

Representação gráfica do movimento na vertical

Movimento parcial na direção horizontal (eixo X)

Sendo o movimento apenas na horizontal, a projeção do vetor aceleração da gravidade () no eixo X é nula, ou seja, na direção horizontal do lançamento oblíquo não existe aceleração e, nesse caso o movimento é uniforme (MU) com velocidade constante V_ox = V_ocosα.

Relação entre o alcance X, a velocidade inicial V_o e o ângulo de lançamento α

Velocidade vertical da bola no ponto de lançamento V_oy e no ponto de chegada –V_oy    V_y=V_oy – gt  V_oy = V_oy – gt  2V_oy = gt t=2V_oy/g   nesse tempo a bola percorre a distância ΔS=X=V_xt  X=V_oxt    X=V_ox.(2V_oy/g)    X=V_ocosα.(2V_osenα/g)    X=V_o²2senα.cosα/g  2senα.cosα=sen2α  X=V_o²sen2α/g  (I)   observa-se nessa expressão que o alcance será máximo quando sen2α=1  α=45^o     

Assim    sen²45^o=1/2   sen2.45^o=sen90⁰=1   X_máximo=V_o²/g  (II)

No ponto mais alto da trajetória    V_y=0  Y=h_máx    V_y²=V_oy² – 2gΔh  0² = V_oy² – 2gh_máx  h_máx=V_oy²/2g  ---  h_máx=V_o².sen²α/2g  ---  alcance máximo α=45^o  ---  h_máx=V_o²sen²45^o/2g=(V_o²(√2/2)²/2g  --h_máx=(V_o²/2)/2g    h_máx=V_o²/4g  (III)   comparando II com III    X_máx=4h_máx

Essa informação pode ser útil:

O alcance é máximo quando α=45^o e nesse caso o alcance X_máx é quatro vezes maior que a altura máxima alcançada (h_máx).

O que você deve saber (informações – dicas)

O tempo que a bola permanece no ar está relacionado  com a altura  ---  maior altura, maior tempo de permanência no ar,conforme figura abaixo   

  O alcance é máximo quando α=45^o e nesse caso o alcance X_máx é quatro vezes maior que a altura máxima alcançada (h_máx)    X_máx=4h_máx

  O vetor velocidade  é sempre tangente à trajetória em cada ponto e sempre decomposto em e .

Em qualquer ponto é válida a relação V² = V_x² + V_y². Observe que no ponto mais alto da trajetória a velocidade vetorial  não é nula, tem intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, .

 Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α₁ + α₂ = 90^o), e a velocidade inicial for a mesma,o alcance horizontal é o mesmo. Exemplo:

Exercícios de vestibulares resolvidos sobre lançamento oblíquo

 01-(Ufmg-MG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas - P, Q e R -, cujas trajetórias estão representadas nesta figura:

Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que

a) t(Q) > t(P) = t(R)         

b) t(R) > t(Q) = t(P)         

c) t(Q) > t(R) > t(P)         

d) t(R) > t(Q) > t(P)           

e) d) t(R) = t(Q) = t(P)

02-(Ufsm-RS) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo a resistência do ar desprezível, a

flecha descreve uma parábola num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da flecha depois que ela abandona o arco, afirma-se:

I. A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

II. A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no mesmo sentido.

III. A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

Está(ão) correta(s)

03-(CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma um ângulo de 60° com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este ângulo é de 30°. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é:

DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR.

04-(CEFET-CE) Um caminhão se desloca em movimento retilíneo e horizontal, com velocidade constante de 20m/s. Sobre sua carroceria, está um canhão, postado para tiros verticais, conforme indica a figura. A origem do sistema de coordenadas coincide com a boca do canhão e, no instante t=0, ele dispara um projétil, com velocidade de 80m/s. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s².

Determine o deslocamento horizontal do projétil, até ele retornar à altura de lançamento, em relação:

a) ao caminhão;

b) ao solo.

05-(Ufms-MS) Em um lançamento oblíquo (trajetória mostrada na figura a seguir) em um local onde a aceleração constante da gravidade é g, sejam respectivamente, H, X e β a altura máxima, o alcance horizontal e o ângulo de lançamento do projétil, medido em relação ao eixo horizontal x. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que

(01) o tempo para que se alcance X é igual ao tempo de subida do projétil.

(02) o tempo para que se alcance X é igual ao dobro do tempo de descida do projétil.

(04) se tg(β) = 4, então H = X.

(08) a energia cinética do projétil é máxima quando é atingida a altura máxima.

(16) a energia mecânica do projétil aumenta no trecho de descida.

06-(CEFET-CE) Um aluno do CEFET em uma partida de futebol lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo

de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em m/s, será:

07-(PUCCAMP-SP) Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático

resolveu obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento (t = 0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, considerando g=10m/s², a expressão que o matemático encontrou foi

a) y = - 5t² + 20t              

b) y = - 5t² + 10t                

c) y = - 5t² + t              

d) y = -10t² + 50              

e) y = -10t² + 10

08-(Ufpe-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com velocidade inicial v_o = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil? (Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s²).

09-(FUVEST-SP) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.

a) Estime o intervalo de tempo t­₁, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B.

b) Estime o intervalo de tempo t₂, em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.

c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as velocidades horizontal V_x e vertical V_y da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por V_x e V_y, respectivamente, cada uma das curvas.

NOTE E ADOTE:

V_y é positivo quando a bola sobe

V_x é positivo quando a bola se move para a direita

10-(PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de 45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o

dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de tempo t, em segundos, é um valor mais próximo de:

Dados: g = 10 m/s² e sen 45° = cos 45° = 0,7

11- Ufjf-MG) Durante uma partida de futebol, um jogador, percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol, resolve tentar um chute de longa distância (vide figura). O jogador se encontra a 40 m do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem módulo V_o = 26 m/s e faz um ângulo de 25° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual e usando cos 25° = 0,91, sen 25° = 0,42 e g=10m/s²:

a) Faça o diagrama de forças sobre a bola num ponto qualquer da trajetória durante o seu vôo, após ter sido chutada. Identifique a(s) força(s).

b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura de 3,0 m. Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele? Justifique.

c) Se a bola passar pelo goleiro, ela atravessará a linha de gol a uma altura de 1,5 m do chão. A que distância o jogador se encontrava da linha de gol, quando chutou a bola? (Nota: a linha de gol está atrás do goleiro.)

12-(CEFET-CE) Uma roda de raio R rola uniformemente, sem escorregar, ao longo de uma superfície horizontal. Do ponto A da roda se desprende uma gota de barro, como mostra a figura a seguir.

Com que velocidade v deve se deslocar a roda, se a gota, depois de lançada ao espaço, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda após efetuar uma volta? Considere desprezível a resistência do ar.

13-(UNICAMP-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura a seguir, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m.

a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso.

b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?

c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força, FE, vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura?

14-(UNICAMP-SP) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto.

De acordo com o gráfico, determine:

a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.

b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3m.

c) A velocidade vertical de saída do solo.

15-(PUC-SP) Futebol é, sem dúvida, o esporte mais popular de nosso país. Campos de futebol são improvisados nas ruas, nas praças, nas praias. Já os campos de futebol profissional são projetados e construídos seguindo regras e dimensões bem definidas

O comprimento do campo pode variar de um mínimo de 90m até um máximo de 120m, enquanto a medida da largura pode variar entre 45m e 90m. De qualquer maneira, independentemente das dimensões do campo, a distância entre as traves verticais de um mesmo gol é de 7,3m, e a grande área do campo, dentro da qual ficam o goleiro e as traves, tem as medidas assim definidas:

"A grande área, ou área penal, está situada em ambas as extremidades do campo e será demarcada da seguinte maneira: serão traçadas duas linhas perpendiculares à linha de meta, a 16,5m de cada trave do gol. Essas linhas se adentrarão por 16,5m no campo e se unirão a uma linha paralela à linha de meta. Em cada grande área será marcado um ponto penal, a 11,0m de distância a partir do ponto médio da linha entre as traves, eqüidistantes às mesmas, Por fora de cada grande área será traçado um semicírculo com raio de 9,2m a partir de cada ponto penal." (fig. 1)

Para alcançar o gol, os jogadores lançam mão de várias técnicas e fundamentos. Dentre esses fundamentos, um dos mais difíceis de serem executados pelos jogadores, e que está diretamente ligado às medidas do campo, é o 'lançamento'. Nestas jogadas, em que se destacaram Gerson e Pelé, dentre outros, um jogador chuta a bola que, a partir daí, sobe, descreve uma parábola sob a ação da gravidade e vai alcançar outro jogador, uns tantos metros à frente.

Instruções: Nas respostas lembre-se de deixar os processos de resolução claramente expostos.

Não basta escrever apenas o resultado final. É necessário registrar os cálculos e/ou raciocínio utilizado.

Sempre que necessário, utilize: g = 10m/s², sen 20° = 0,35 e cos 20° = 0,95

Nas questões seguintes, eventualmente, você precisará de dados numéricos contidos no texto. Procure-os com atenção.

Para as questões seguintes, considere a fig. 2 , na qual um jogador chuta a boa com velocidade de módulo 72 km/h e em um ângulo de 20° em relação à horizontal. A distância inicial entre a bola e a barreira é de 9,5m e entre a bola e a linha do gol, 19m. A trave superior do gol encontra-se a 2,4m do solo.

Considere desprezível o trabalho de forças dissipativas sobre a bola.

a) Determine qual é a máxima altura que a barreira pode ter para que a bola a ultrapasse.

b) Determine a distância entre a trave superior e a bola, no instante em que ela entra no gol.

c) A trajetória da bola chutada pelo jogador da figura pode ser descrita pela equação y = 7/19x - (5/361)x², na qual 'y' é a medida, em metros, da altura em que a bola se encontra, e 'x' é a medida da distância horizontal percorrida pela bola, em metros, durante seu movimento. Desenhe o gráfico cartesiano representativo do movimento da bola durante o lançamento, assinalando a altura máxima e o ponto em que a bola retornaria ao solo, caso não batesse na rede.(fig. 2)

16-(UNESP-SP) Um garoto, voltando da escola, encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, pegando a mochila pelas alças, lançou-a a partir de uma altura de 0,4 m.

Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do solo. Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia. Tomando g = 10 m/s², calcule

a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atingir a altura máxima.

b) o ângulo de lançamento.

Dados:

17-(UNIFESP-SP) Um projétil de massa m = 0,10 kg é lançado do solo com velocidade de 100 m/s, em um instante t = 0, em uma direção que forma 53° com a horizontal. Admita que a resistência do ar seja desprezível e adote g = 10 m/s².

a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada no ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição desse projétil no instante t = 12 s?

Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60.

b) Utilizando este pequeno trecho da trajetória do projétil:

Desenhe no ponto O, onde está representada a velocidade  do projétil, a força resultante  que nele atua. Qual o módulo dessa força?

18- (Ufc-CE) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura a seguir. O plano tem um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g, direção vertical, sentido para baixo).

a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento.

b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (a).

19-(UNESP-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são, respectivamente, h e s.

Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45° em relação ao solo horizontal, calcule a razão s/h.

Dado: sen 45° = cos 45° = √2/2.

20-(UNICAMP–SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.

Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.

Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.

Considere √3 =1,8 ; sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,9.

Despreze a resistência do ar.

a) Qual é o alcance do projétil?

b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?

c) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati?

21-(PUC-PR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60° com a horizontal com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na Lua.

Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos, analise as proposições a seguir:

I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra.

II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra.

III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua.

IV- A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra.

22-(FUVEST-SP) No "salto com vara", um atleta corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu corpo por cima de uma barra. Para uma estimativa da altura alcançada nesses saltos, é possível considerar que a vara sirva apenas para converter o movimento horizontal do atleta (corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos de energia. Na análise de um desses saltos, foi obtida a seqüência de imagens reproduzida a seguir. Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximadamente,

Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início do salto.

23-(Ufsm-RS) Num jogo de futebol, um jogador faz um lançamento oblíquo de longa distância para o campo adversário, e o atacante desloca-se abaixo da bola, em direção ao ponto previsto para o primeiro contato dela com o solo.

Desconsiderando o efeito do ar, analise as afirmativas:

I - Um observador que está na arquibancada lateral vê a bola executar uma trajetória parabólica.

II - O atacante desloca-se em movimento retilíneo uniformemente variado para um observador que está na arquibancada lateral.

III - O atacante observa a bola em movimento retilíneo uniformemente variado.

Está(ão) CORRETA(S)

24-(FUVEST-SP) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM).

Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa  da atleta atingiu uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime:

a) O intervalo de tempo t₁, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima.

b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto.

c) O intervalo de tempo t₂, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto.

NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar.

25-(ITA-SP) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s£, assinale a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua máxima altura.

26-(UDESC-SC) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo.

No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta.

Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos² 30° = 0,75.

a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento.

b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento.

27-(CFT-MG) Uma pedra, lançada para cima a partir do topo de um edifício de 10 m de altura com

velocidade inicial v_o = 10m/s, faz um ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como referência, é correto afirmar que a(o)

a) máxima altura atingida é igual a 15 m.                                  

b) intervalo de tempo da subida vale 3,0 s. 

c) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s.                               

d) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10m/s. 

28-(PUC-RJ) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior

alcance possível. Se ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45^o em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s²)

29-(UNIFESP-SP) No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um

lindo gol, no qual, ao correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima.

Dados: g = 10,0 m/s2 e  √= 1,4

a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal).

b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da

 bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado?

30-(UEPG-PR)  Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto.

01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são respectivamente dadas por,

V_x = V_o . cosθ e V_y = V_o . senθ – gt 

02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por,

x = V_o . cosθ. t e y = V_o . senθ – gt²/2 

04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento.

08) O tempo que o projétil permanece no ar é t=(2V_osenθ)/g 

16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal. 

(UERJ-RJ) Este enunciado refere-se às questões de números 31 e 32. Um trem em alta velocidade

 desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso.

31-(UERJ-RJ) Se a bola fosse arremessada na mesma direção, mas em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância, em metros, entre o ponto em que a bola atinge o piso e o ponto de arremesso seria igual a:

32-(UERJ-RJ) O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:

 33-(UFF-RJ) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida.

Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar.

(A) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo.

(B) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo.

(C) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais.

(D) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento.

(E) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial.

34-(MACKENZIE-SP)

Uma bola é chutada a partir de um ponto de uma região plana e horizontal, onde o campo gravitacional é considerado uniforme, segundo a

direção vertical descendente. A trajetória descrita pela bola é uma parábola,  g=10m/s² e a resistência do ar é

desprezível. Considerando os valores da tabela acima, conclui-se que o ângulo α de lançamento da bola foi, aproximadamente,

35-(UNICAMP-SP)

Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola  estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre

a) 4,1 e 4,4 m.                   

b) 3,8 e 4,1 m.                           

c) 3,2 e 3,5 m.                        

d) 3,5 e 3,8

36-(UNESP-SP)

Em um jogo de basquete, um jogador passa a bola para outro lançando-a de 1,8 m de altura contra o solo, com uma velocidade inicial V_o = 10 m/s, fazendo um ângulo θ com a vertical (senθ = 0,6 e cosθ = 0,8). Ao tocar o solo, a bola, de 600 g, permanece em contato com ele por um décimo de segundo e volta a subir de modo que, imediatamente após a colisão, a componente vertical de sua velocidade tenha módulo 9 m/s. A bola é apanhada pelo outro jogador a 6,6 m de distância do primeiro.

Desprezando a resistência do ar, a rotação da bola e uma possível perda de energia da bola durante a colisão com o solo, calcule o intervalo de tempo entre a bola ser lançada pelo primeiro jogador e ser apanhada pelo segundo. Determine a intensidade da força média, em newtons, exercida pelo solo sobre a bola durante a colisão, considerando que, nesse processo, a força peso que atua na bola tem intensidade desprezível diante da força de reação do solo sobre a bola. Considere g = 10 m/s2

37-(PUC-SP)

Dois amigos, Berstáquio e Protásio, distam de 25,5m. Berstáquio lança obliquamente uma bola para

Protásio que,partindo do repouso, desloca-se ao encontro da bola para segurá-la. No instante do lançamento, a direção da bola lançada por Berstáquio formava um ângulo θ com a horizontal, o que permitiu que ela  alcançasse, em relação ao ponto de lançamento, a  altura máxima de 11,25m e uma velocidade de 8m/s  nessa posição. Desprezando o atrito da bola com o ar e adotando g = 10m/s2 , podemos afirmar que a aceleração de Protásio, suposta constante, para que ele consiga pegar a bola no mesmo nível do lançamento deve ser de

Resolução dos exercícios de vestibulares sobre lançamento oblíquo

01- O tempo que a bola permanece no ar está relacionado  com a altura  ---  maior altura, maior tempo de permanência no ar  ---  R- A

02- I – Falsa – a aceleração é constante e é a aceleração da gravidade , sempre com direção vertical e sentido para baixo.

II – Correta – vide afirmação acima

III – Falsa – no ponto mais alto da trajetória a velocidade é mínima e vale V=V_x

R- C

03- Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α₁ + α₂=90^o), e a velocidade inicial for a mesma, (no caso, 20m/so alcance horizontal é o mesmo.

R- D

04- a) Como a resistência do ar é desprezada, a velocidade horizontal inicial do projétil é constante e, em cada instante, a mesma do caminhão. Assim, se ele partiu de um ponto P da carroceria do caminhão, retornará ao mesmo ponto P e o deslocamento horizontal em relação ao caminhão será zero.

b) V_ox=20m/s  ---  V_o=80m/s  ---  V_o²=V_ox² + V_oy²  ---  6.400=400 + V_oy²  ---  V_oy=77.5m/s  ---tempo de subida  ---  V_y = V_oy – gt_s  ---  0=77,5 – 10t_s  ---  t_s=7,75s  ---  tempo que demora para subir e descer e se deslocar X na horizontal  ---  t=2.7.75  ---  t=15,5s  ---  X=V_ox.t=20,15,5  ---  X=310m

05- (01) Falsa – é o tempo de subida mais o tempo de descida

(02) Verdadeira – veja (1)

(04) Verdadeira – veja teoria - Se a altura maxima (h_máx) é igual ao alcance X  ---   tgα=4

(08) E_c=mV²/2  ---  na altura máxima V é mínima, portanto E_c também será mínima – Falsa

(16) Falsa – como não existe atrito, o sistema é conservativo e a energia mecânica é sempre a mesma em todos os pontos da trajetória

Soma (02 + 04) = 06

06- Na altura máxima a velocidade vetorial  não é nula, tem intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, .

Assim, V_ox=20m/s  ---  V_ox=V_ocos60^o  ---  20=V_o.1/2  ---  V_o=40m/s  ---  R- E

07- Na altura maxima  ---  h_máx=20m e t=4/2  ---  t=2s  ---  Y=V_oyt – gt²/2  ---  20=V_oy.2 – 10.2²/2  ---  V_oy=20m/s  ---  Y=V_oyt – gt²/2  ---  Y=20t – 5t²   ---  R- A

08- No ponto mais alto  ---  V=V_x=V_ox=20/2  ---  V_ox=10m/s  ---  V_o²=V_ox² + V_oy²  ---  20²=10² + V_oy²  ---  V_oy²=300  ---  na altura máxima h_máx  ---  V_y=0  ---  Torricelli  ---  V_y² = V_oy² – 2gh_máx  ---  0²=300 – 20h_máqx  ---  h_máx=15m

09- a) Movimento na vertical  ---  no ponto A de altura máxima V_y=0 

S=S_o + V_ot + at²/2  ---  YB) = Y(A) + V_yt – 10t²/2  ---  4,2 = 5,0 +0.t -5t²  ---  t=√0,16  ---  t=0,4s
b) Queda livre da altura Y_o=5m  --- V_o=0  ---  quando chega ao solo Y=0  ---  Y=Y_o + V_ot –gt²/2  ---  0=5 + 0t – 5t²  ---  t=1s

Sendo o choque elástico, o tempo de subida é igual ao tempo de descida  ---  t=2s

c) Movimento vertical  ---  a batida na parede não afeta o tempo de queda (projeção na vertical) pois o choque é elástico ---  t=1s  ---  V_oy=0  ---  velocidade com que chega ao solo  ---  V_y  ---  V_y=V_oy – gt  ---  V_y=0 -10.1  ---  V_y=-10m/s  ---  se chega ao solo com velocidade de -10m/s, sai do mesmo com velocidade de +10m/s  ---

No movimento horizontal ela demora t=0,4s para percorrer X=6m com velocidade constante V_x  ---  X=V_xt  ---  6=V_x.0,4  ---  V_x=15m/s  ---  +15m/s para a direita (movimento progressivo) e -15m/s para a esquerda (movimento retrógrado)

10- V_ox=V_ocos45^o  ---  V_oy=V_osen45^o  ---  V_ox=V_oy=0,7V_o  ---  tempo que o dardo demora para para percorrer 16m na horizontal  ---  X=V_oxcos45^o.t  ---  16=V_o.0,7.t  ---  t=16/0,7V_o  ---  Na altura máxima V_y=0 e t=16/2.(0,7V_o)=16/1,4V_o  ---  V_y=V­_oy – gt  ---  0=0,7V_o – 10t  ---  0=0,7V_o – 10.16/1,4V_o  ---  V_o=√163,2=12,8m/s  ---  t=16/0,7V_o  ---  t=16/12,8=1,8s  ---  R- B

11- a) A única força que age sobre a bola (a resistência do ar é desprezada) durante todo o movimento é a força peso, vertical e para

baixo.

b) Cálculo do tempo que a bola demora  a chegar até o goleiro percorrendo X=40m com velocidade horizontal constante e de valor V_ox=V_ocos25^o=26.0,91  ---  V_ox=23,66m/s  ---  X=V_ox.t  ---  40=23,66.t  ---  t=1,69s  ---  cálculo da altura, na direção vertical, que a bola estará ao chegar ao goleiro nesse instante (t=1,69s)  ---  Y=V_oyt – gt²/2  ---  Y=V_o.sen25^o.t –gt²/2  ---  Y=26.0,42.1,69 – 10.(1,69)²/2  ---  Y=18,45 – 14,28  ---  Y=4,17m  ---  esse valor é maior que 3m e assim, o goleiro não consegue tocar a bola.

c) Cálculo do tempo que a bola demora para chegar à altura vertical de 1,5m  ---  Y=V_o.sen25^o.t – gt²/2  ---  1,5=10,92t – 5t²  ---

5t² -10,92t + 1,5=0  ---  Δ=119,25 – 30=89,25  ---  √Δ=9,5  ---  t=(10,92 ±9,5)/2.5  ---  considera-se o tempo maior que ocorre quando a bola já está descendo  ---  t=2,042s  ---  nesse instante a distância horizontal da linha de gol será de X=V_ocos25^o.t  --- 

X=26.0,91.2,042  ---  X=48,3m

12- O tempo que a gota de barro permanece no ar é o mesmo tempo que a roda demora para efetuar uma volta completa, ou seja, percorrer ΔS=2πR com velocidade constante V, que é a velocidade de translação e de rotação da roda (não derrapa) e que também é a velocidade de lançamento da gota de barro  ---  V= ΔS/Δt  ---  V=2πR/t  ---  t=2πR/V  ---  a gota de barro atinge a altura máxima h_máx na metade desse tempo, quando sua velocidade vertical V_y se anula (V_y=0)  ---  V_y=V_oy – gt  ---  0=V – g(πR/V)  --- 

V²=πRg  ---  V=√(πRg)

13- a) Do gráfico  ---  distância vertical que percorre  até atingir a altura máxima  ---  ΔS=125 – 93,75=31,25cm  ---  ΔS=0,3125m  ---  na altura máxima V_y=0  ---  Torricelli  ---  V­_y² = V_oy² + 2aΔS  ---  0²=V_oy² – 2.10.0,3125  ---  V_oy=2,5m/s  ---  função horária vertical  ---  Y=Y_o + V_oyt – gt²/2  ---  quando chega ao solo Y=0  ---  0=0,9375 + 2,5t – 5t²  ---  5t² – 2,5t – 0,9375=0  ---  √Δ=5  --- 

t=(2,5 ±5)/10  ---  t=0,75s

b) Na horizontal  ---  quando X=24m  ---  t=0,75s  ---  X=V_ox.t  ---  24=V_ox.0,75  --- V_ox=32m/s

c) sem efeito  ---  a força resultante sobre a bola é seu peso  ---  P=mg  ---  a=g  ---  com efeito  ---  F=3P (para cima) e P (para baixo)  ---  F_R=3P – P=2P=2mg  ---  a’=2g  ---  como a aceleração é proporcional à velocidade, ela também dobrará  ---  V’+2.32  ---  V’=64m/s

14- a) Y_o=0  ---  quando t=0,3s  ---  Y=1,2m  ---  Y=Y_o + V_oyt + at²/2  ---  1,2=0 + 0,3V_oy= + a.(0,3)²/2  ---  0,3V_oy + 0,045a=1,2  I

quando t=0,8s  ---  Y=1,2m  ---  Y=Y_o + V_oyt + at²/2  ---  1,2=0 + V_oy.0,8 + a(0,8)²/2  ---  0,8V_oy + 0,32a = 1,2  II  ---  resolvendo o sistema composto por I e II  ---  a=-10m/s²=g  e V_oy=5,5m/s  ---  tempo que demora para atingir a altura máxima onde V_y=0  ---  V_y=V_oy + at  ---  0=5,5 – 10t  ---  t=0,55s  ---  Y_máx= Y_o + V_oyt + at²/2  ---  Y_máx= 0 + 5,5.0,55 – 10(0,55)²/2  ---  Y_máx=1,5125m

b) tempo total de movimento t=2.0,55  ---  t=1,1s  ---  na horizontal  ---  X=V_ox.t  ---  1,3=V_ox.1,1  ---  V_ox=1,18m/s

c) V_o²=V_ox² + V_oy²  ---  V_o² = (1,18)² + ((5,5)²  ---  V_o²=1,3924 + 37,91  ---  V_o=6m/s

15- a) V_o=72km/h/3,6=20m/s  ---  V_oy=V_osen20^o=20.0,35  --- V_oy=7m/s  ---  V_ox=V_ocos20^o=20.0,95  ---  V_ox=19m/s  ---  tempo que a bola demora para chegar à barreira onde X=9,5m com velocidade constante V_ox=19m/s  ---  X=V_ox.t  ---  t=9,5/19  ---  t=0,5s  ---  nesse instante a barreira deverá ter uma altura vertical de  ---  Y=V_oyt – gt²/2=7.0,5 – 5.0,25  ---  Y=3,5 – 1,25  ---  Y=2,25m

b) Tempo que a bola demora para chegar ao gol com velocidade de V_ox=19m/s e distante X=19m do ponto de lançamento  ---  X=V_oxt  ---  t=19/19  ---  t=1s  ---  nesse instante a bola terá uma altura vertical de Y=V_oyt – gt²/2=7.1 – 5.1  ---  Y=2m (altura da bola ao entrar no gol)  ---  altura da trave=2,4m  ---  a bola entra no gol 0,4m abaixo da trave.

c) Tempo que a bola demora para atingir a altura máxima onde V_y=0  ---  V_y=V_oy – gt  ---  0=7 – 10t  ---  t=0,7s  ---  nesse instante  ---  X=V_oxt=19.0,7  ---  X=13,3m  ---  Y=h_máx=V_0yt – gt²/2=7.0,7 – 5.0,49=4,9 – 2,45  ---  h_máx= 2,45m  ---  o tempo que ela

demora para retornar ao solo é o dobro do tempo que demora para atingir h_máx  ---  t=2.13,3  ---  t=26,6s 

16- a) Colocando o referencial no ponto de lançamento e aplicando Torricelli no ponto de altura máxima onde v_y=0 e h=1,8m  --- 

V²=V_oy² – 2gh  ---  0²=(V_osenβ)² -2.10.1,8  ---  V_osenβ=√36  ---  V_osenβ=6  ---  tempo que demora para atingir h_máx  ---  V_y = V_oy – gt  ---  0=V_osenβ – 10t  ---  0=6 – 10t  --- t=0,6s

b) eixo vertical  ---  V_osenβ=6  ---  senβ=V_o/6  ---  eixo horizontal  ---  quando t=0,6s  ---  X=3,6m  ---  X=V_oxt  ---  3,6=V_ocosβ.0,6  ---  V_ocosβ=6  ---  cosβ=V_o/6  ---  tgβ=senβ/cosβ=V_o/6 x 6/V_o  ---  tgβ=1  ---  β=45^o

17- a) V_ox=V_ocos53^o=100.0,60  ---  V_ox=60m/s  ---   V_oy=V_osen53^o=100.0,80  ---  V_oy=80m/s  ---  quando t=12s  ---  X=V_oxt=60.12  ---  X=720m  ---  Y=V_oyt – gt²/2=80.12 – 5.(12)²=960 - 720  ---  Y=240m

b) A força resultante é o peso do projétil, de direção vertical e sentido para baixo e de intensidade P=mg=0,1.10  ---  P=1,0N

18- a) Observe a figura abaixo, onde você deve decompor V em suas componentes vertical V_y e horizontal V_x

V_x=Vcosβ  ---  V_x=Vcos(α + θ)  ---  V_y=Vsenβ  ---  V_y=Vsen(α + θ)  ---  equação horária segundo a horizontal X  ---  X=V_oxt=V_xt  ---  X=V.cos (α + θ).t  ---  Y=V_yt – gt²/2  --- Y=Vsen (α + θ).t – gt²/2

b) Isolando t em X=Vcos(α + θ)t  ---  t=X/Vcos(α + θ) que, substituída em Y=Vsen(α + θ)t – gt²/2  ---  Y=Vsen(α + θ).X/Vcos(α + θ) – g(X/Vcos(α + θ))²/2  ---  Y=tg(α + θ) – g.X²/2V²cos²(α + θ)

19- V_oy=V_osen45^o  ---  V_oy=√2/2V_o  ---  V_ox=V_ocos45^o  ---  V_ox=√2/2V_o  ---  cálculo do tempo de subida que ocorre na altura máxima quando V_y=0  ---  V_y=V_oy – gt  ---  0=√2/2V_o – gt  ---  t=√2.V_o/2g (tempo de subida)  ---  na horizontal  ---  X=s=V_ox2t  ---  s=√2/2.V_o2(√2V_o/2g)  ---  s=V_o²/g  ---  na vertical  ---  Y=h==V_oyt – gt²/2=√2/2.V_o(√2.V_o/2g) – g.(√2V_o/2g)²/2  ---  h=V_o²/2g – V_o²/4g  ---  h=V_o²/4g  ---  s/h=V_o²/g x 4g/V_o²  ---  s/h=4

20- a) V_ox=V_ocos30^o=100.0,9=90m/s  ---  V_oy=V_osen30^o=100.0,5=50m/s  ---  tempo para atingir h_máx o que ocorre quando V_y=0  --- 

V_y=V_oy – gt  ---  0=50 – 10t  ---  t=5s  ---  o alcance ocorre em t=2.5  ---  t=10s  ---  X=V_oxt=90.10  ---  X=900m 

b) h_máx segundo Simplício  --- 

tg30^o=h/900  ---  √3/3=h/900  ---  1,8/3=h/900  ---  h=540m

c) h_máx segundo Salviati  ---  V_oyt – gt²/2=50.5 – 5.25/2=250 - 125  ---  h_máx=125m   

21- I- V_oy é a mesma (mesmo V₀ e o mesmo ângulo)  ---   Na h_máx  ---  V_y=0  ---  V_y² = V_oy² – 2.g.h_máx  ---  0 = V_oy² – 2gh_máx  ---  h_máx=V_oy²/2g  ---  se g diminui, h_máxaumenta  ---  Verdadeira

II – Correta  ---  a velocidade do projétil no aponto mais alto da trajetória é nula na Terra e na Lua.

III – V_ox é a mesma  ---  X=V_ox.t  ---  o alcance horizontal X independe de g, assim X é o mesmo na Terra e na Lua.

IV – Correta  ---  a velocidade vertical com que ele é lançado é a mesma, veja I, quem varia é g.

22- Na altura máxima  ---  V_y=0 e h=3,2m  ---  Torricelli  ---  V_y²=V_oy² – 2gh  ---  0²=V_oy²– 2.10 3,2  ---  V_oy=8m/s  ---  R- D

23- I – Verdadeira  ---  vê uma composição de dois movimentos, um na vertical e outro na horizontal.

II – Falsa  ---  desloca-se em movimento retilíneo uniforme com velocidade horizontal constante.

III – Correta – na vertical o movimento é uniformemente variado com aceleração a=-g.

R- D

24- a) Na h_máx  ---  V_y=0  ---  h_máx=1,25m  ---  Torricelli  ---  V_y²=V_oy² – 2gh_máx  ---  0²= V_oy² -20.1,25  ---  V_oy=5m/s  ---  V_y=V_oy – gt  ---  0=5 – 10t  ---  t₁=0,5s

b) X=V_oxt=V_ox2t₁  ---  6=V_ox.1  ---  V_ox=6,0m/s

c) Trata-se do tempo que ele demora para percorrer na horizontal, com velocidade de V_ox=6ms a distância X=(7,04 – 3,0)=4,04m  ---  X=V_oxt₂=  ---  4,04=6t₂  ---  t₂=0,67s

25- Bola 1  ---  lançamento vertical  ---  tempo para atingir h_máx onde V=0  ---  V=V_o – gt  ---  0=30 – 10t  ---  t=3s  ---  h_máx= 30.3 – 5.9  ---  h_max= 45m

Bola 2  ---  lançamento oblíquo  ---  quando t=3s  ---  h’=V_oyt – gt²/2  ---  h’=V_osen30^o.t – gt²/2=50.1/2.3 – 10.9/2=75 – 45  ---    --  h’=30m  ---  X=V_ocos30^o.t=50.√3/2.3  ---  X=127,5m  ---  a distância pedida é d, conforme figura abaixo

d²=(15)² + (127,5)²  ---  d=√225 + 16.256,25  ---  d=√16.481,25 m  ---  R- D

26- a) V_y=V_osen30^o – gt  ---  0=5.0,5 – 10t  ---  t=0,25s

b) Cálculo da altura máxima  ---  Y=h_máx=Y_o + V_ocos30^o – gt²/2=2 + 0,625 - 0,3125  --- h_máx=2,3125m que é menor que a altura da cesta

c) na horizontal  ---  X=V_ocos30^ot  ---  4=V_o.0,86t ---  t=4,6/V_o  ---  na vertical  ---  Y=Y_o+ V_osen30^ot – gt²/2  ---  3=2 + 0,5V_o.(4,6/V_o) – 5(4,6/V_o)²  ---  1,3=106/V_o²  --- V_o=9,02m/s

27- Dados: v_o = 10 m/s; h_o = 10 m; q = 30°  ---  as componentes horizontal (v_ox) e vertical (v_oy) da velocidade inicial são  --- 

V_ox = v_o cos 30° = 10 (0,87) = 8,7 m/s  ---  v_oy = vo sem 30° = 10 (0,5) = 5 m/s. 

Verificando cada uma das opções:

a) Altura máxima atingida em relação ao ponto de lançamento  ---  V_y²=V_oy² – 2gh  ---  0²= V_oy² – 2gh  ---  h=V_oz²g=5²/10  --- 

h=2,5m  ---  em relação ao solo  ---  H=2,5 + 10  ---  H=12,5m

b) Tempo de subida  ---  V_y=V_oy – gt  ---  0=5 – 10t  ---  t=0,5s

c) Com referencial no solo e orientando a trajetória para cima, o tempo para chegar ao solo é calculado pela função horária do espaço  ---  h=h_o + V_oyt – gt²/2  ---  h=10 + 5t – 5t²  ---  quando chega ao solo h=0  ---  0=10 + 5t – 5t²   ---  t² – t – 5=0  ---  resolvendo a equação  ---  t @ 2,8 s.

d) Correta. Ao passar novamente pela mesma altura a pedra possui a mesma energia potencial inicial  ---   considerando o sistema

 conservativo, então a pedra tem também a mesma energia cinética, portanto a mesma velocidade, em módulo, ou seja, se ela é lançada com velocidade de 10m/s, ao retornar passará por esse mesmo ponto com velocidade de -10m/s.

R- D

28- Dados  ---  v_o = 10 m/s; q = 45°; g = 10 m/s².

V_ox = v_o cos 45° = 10.√2/2  ---  V_ox=5√2m/s  ---  v_oy = v_o ­sen 45° = ­5√2m/s  ---  no eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = –g  ---  tempo de subida (t_sub), notando que no ponto mais alto v_y = 0  ---  v_y = v_oy – g t  ---  0 = 5√2 – 10 t_sub­  --- 

T_sub =√2/2 s  ---   tempo  de subida é igual ao de descida  ---  tempo total (t_t)  ---  t_t=2t_sub  ---  t_t=√2s  ---  no eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a v_ox  ---   alcance horizontal (D)  ---   D = v_ox t_t = 5.√2.√2  ---  D=10m  ---  R- E

29- Dados: g = 10 m/s²; √2= 1,4; q = 45°; v_o = 20 m/s.

a) Considere desprezível a resistência do ar e que, ao matar a bola, o pé do artilheiro esteja bem próximo ao chão  ---  então você pode considerar o ponto de lançamento e o ponto de chegada pertencente a um mesmo plano horizontal  ---  no ponto mais alto a componente vertical da velocidade (v_y) é nula  ---  v_y = v_oy – g t  Þ  0 = v_osen q – g t_s  ---  0=20.sen45^o – 10t_s  ---  t_s=20.√2/2/10  --

t_s=√2 s  ---  tempo total =t_subida + t_descida  ---  t_total= √2 + √2   ---  t_total=2√2 s  ---  na horizontal o movimento é uniforme  --- velocidade V_x (constante) ---  v_x  = v_o cos q = v_o cos 45° = 20.√2/2 m/s  ---  V_x=10√2 m/s  ---  alcance horizontal  ---  x=V_x.t=(10√2).(2.√2)  ---  x=40m

b) A velocidade média (v_m) do artilheiro pode ser calculada considerando que ele percorreu a distância (DS) de 16 m enquanto a bola esteve no ar  ---  V_m=ΔS/Δt=16/2√2  ---  V_m=4√2=4.1,4  ---  V_m=5,6m/s=20,16km/h

30- Analisando apenas a incorreta, que é a 02  ---  a componente horizontal está correta, pois no eixo x o movimento é uniforme, porém, no eixo y, o movimento é uniformemente variado e a equação correta é  ---  y = y_o + v_oy t –  gt²/2  ---  y_o=0  ---  V_oy=

V_o senθ  ---  Y=(V_osenθ)t – gt²/2 

R- (01 + 04 + 08 + 16)=29    

31- Para um observador no interior do trem que se desloca em movimento retilíneo e uniforme, o alcance de um objeto lançado horizontalmente só depende da intensidade da velocidade  do objeto  ---  assim, caso a bola fosse arremessada em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância entre o ponto de arremesso e o ponto de impacto também seria igual a 5 m  ---  não haveria diferença, pois a queda só é influenciada por g  ---  logo, seria 5m ao contrário da origem  ---  R- B

32- O tempo de queda é calculado exclusivamente pelo movimento vertical (queda livre da altura de 1m com a=g=10m/s²  ---  h=gt²/2  ---  1=10t²/2  ---  t=√0,2  ---  t=0,447s  ---  R- C