Leis de Kepler – Gravitação Universal

Introdução

Foram séculos de observações e estudos sobre as leis que explicam os movimentos dos planetas. Esse estudo começou com os filósofos da Grécia antiga e teve seqüência com  o último astrônomo grego da antiguidade, Cláudio Ptolomeu, que propôs um sistema planetário geocêntrico, que colocava a Terra como o centro do Universo ( final do século II d.C ), sistema   aceito durante muitos  séculos.

No século XV, o astrônomo polonês Nicolau Copérnico propôs o sistema heliocêntrico em que o Sol ocupava o centro do Universo e as órbitas dos planetas ao seu redor eram circulares.

Galileu Galilei (1564-1642) defendeu e aprimorou o Sistema de Copérnico através da utilização de novos instrumentos ópticos e observações astronômicas.

Porém foi o astrônomo alemão Johannes Kepler(1571-1630) que, baseado nas inúmeras e

minuciosas observações astronômicas de Tycho Brahe (1546-1601) esclareceu de forma definitiva e correta o movimento dos planetas ao redor do Sol através de três leis conhecidas como leis de Kepler.

Primeira lei de Kepler (lei das órbitas)

"As órbitas que os planetas descrevem ao redor do Sol são elípticas, com o Sol ocupando um dos

focos F₁ ou F₂ da elipse".

O que você deve saber, informações e dicas

  Considerando o sistema solar, a maior parte de sua massa está concentrada no Sol (99,85%).

Na realidade, os planetas giram ao redor do Sol em torno de um ponto comum, o centro de massa  do sistema Sol-planeta, mas como a massa de qualquer planeta é muito pequena em relação à massa do Sol, esse ponto está localizado no centro do Sol. Assim, os planetas giram em torno do centro do Sol que está num dos focos da elipse.

Já para o sistema Terra-Lua, como a massa da Lua não é insignificante em relação à massa da Terra (aproximadamente 81 vezes menor), este ponto comum está localizado no interior da Terra, a uma distância aproximada de 74% do raio terrestre, a partir do centro da Terra.

De uma maneira geral, as três leis de Kepler são válidas sempre que um corpo gravite em torno de outro com massa bastante superior, como por exemplo, os satélites artificiais em torno da Terra e tornam-se mais simples escolhendo o Sol como sistema de referência.

O sentido de translação dos planetas em torno do Sol é o mesmo sentido de que o da rotação do Sol em torno de seu eixo.

Segunda lei de Kepler (lei das áreas)

“ O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos de tempo iguais”  

A figura abaixo representa um planeta em órbita eliptica ao redor do Sol.

V₁₂ > V₃₄

Essa constante K depende do planeta e recebe o nome de velocidade areolar.

Observação importante: Observe que, quando A₁ = A₂  ∆t₁ = ∆t₂, ou seja, para o arco maior (1,2), ser percorrido no mesmo intervalo de tempo que o arco menor (3,4), a velocidade em (1,2) (mais perto do Sol, periélio) deve ser maior que a velocidade em (3,4) (mais afastado do Sol, afélio).

Então,V₁₂ > V₃₄.

Portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio.

Ainda, de acordo com essa lei, se as órbitas forem circulares a velocidade de translação será constante e se a órbita do planeta tiver raio R e seu  período de translação for T, sua velocidade areolar (constante K) será dada por: K = V = A/∆t = πR²/T.

Terceira lei de Kepler (lei dos períodos)

“ Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias R ao Sol”

O que você deve saber, informações e dicas

A constante K’ depende apenas da massa do Sol e não do planeta que gira ao seu redor.

Na expressão T²/R³ = K’, observamos que à medida que R aumenta, T também aumenta, o que significa que quanto mais afastado o planeta estiver do Sol maior será seu ano (tempo que demora para dar um volta completa ao redor do Sol).

Para dois planetas quaisquer como, por exemplo, Terra e Marte, vale a relação  T_T²/R_T³=T_M²/R_M³.

Ao efetuar uma volta completa ao redor do Sol num período (ano) T um planeta percorre ∆S=2πR e sua velocidade orbital vale V = ∆S/T  T =2πR/V, que substituída em T²/R³ = K’ nos fornece  4π²R²/VR³ = K’  V=4π²/K’R V = constante/R V é inversamente proporcional a R ou seja, quanto mais afastado o Satélite ou planeta estiver, menor será sua velocidade orbital.

O verão não ocorre quando a Terra está no periélio e nem o inverno quando ela está no afélio.

As estações ocorrem devido ao fato de áreas da Terra, devido à inclinação da mesma, receberem

mais ou menos luz do Sol durante seu movimento de translação. 

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Leis de Kepler da Gravitação Universal

01-(UNIFESP-SP) A Massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua e a distância entre os centros de massa desses astros é aproximadamente 60 vezes o raio da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua pode-se afirmar que

a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos focos dessa órbita está o centro de massa da Terra

b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de massa da Terra está no centro dessa órbita

c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Terra.

d)  a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra=Lua,, localizado no meio da distância entre os centros  de massa da Terra e da Lua.

e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Lua.

02-(MACKENZIE-SP) De acordo com uma das leis de Kepler, cada planeta completa (varre) áreas iguais em tempos iguais em torno do Sol.

Como as órbitas são elípticas e o Sol ocupa um dos focos, conclui-se que:

I) Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua velocidade aumenta

II- Quando o planeta está mais distante do Sol, sua velocidade aumenta

III-A velocidade do planeta em sua órbita elíptica independe de sua posição relativa ao Sol.

Responda de acordo com o código a seguir:

a) somente I é correta         

b) somente II é correta         

c) somente II e III são corretas         

d) todas são corretas

e) nenhuma é correta

03-(UFSC) Sobre as leis de Kepler, assinale as proposições verdadeiras para o sistema solar.

01- O valor da velocidade de revolução da Terra, em torno do Sol, quando sua trajetória está mais próxima do Sol, é maior do que quando está mais afastado do mesmo

02- Os planetas mais afastados do Sol tem um período de revolução, em torno do mesmo, maior que os mais próximos

04- Os planetas de maior massa levam mais tempo para dar uma volta em torno do Sol, devido à sua inércia.

08- O Sol está situado num dos focos da órbita elíptica de um dado planeta

16- Quanto maior for o período de rotação de um dado planeta, maior será seu período de revolução em torno do Sol

32- No caso especial da Terra, a órbita é exatamente uma circunferência

Dê como resposta a soma dos números que precedem as proposições corretas

04-(UNISINOS-RS) Durante o primeiro semestre deste ano, foi possível observar o planeta Vênus bem brilhante, ao anoitecer.

 Sabe-se que Vênus está bem mais perto do Sol que a Terra. Comparados com a Terra, o período de revolução de Vênus em torno do Sol é.......................e sua velocidade orbital é............................ . As lacunas são corretamente preenchidas, respectivamente, por:

a) menor; menor         

b) menor; igual         

c) maior; menor         

d) maior; maior        

e) menor; maior

05-(ENEM) As leis de Kepler definem o movimento da Terra em torno do Sol. Qual é, aproximadamente, o tempo gasto, em meses, pela Terra para percorrer uma área igual a um quarto da área total da elipse?

06-(UNESP-SP) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.10²² m² .

a) Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol desde zero hora do dia 1^o de Abril até as 24horas do dia 30 de Maio do mesmo ano? 

b) Qual foi o princípio ou lei que você usou para efetuar o cálculo acima?

07-(UNESP-SP) A órbita de um planeta é elíptica e o Sol ocupa um de seus focos, como ilustrado na figura (fora de escala). As regiões limitadas pelos contornos OPS e MNS têm áreas iguais a A.

Se t_OP e t_MN são os intervalos de tempo gastos para o planeta percorrer os trechos OP e MN, respectivamente, com velocidades médias V_OP e V_MN, pode-se afirmar que

08-(UFG-GO) Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R daórbita.

Nesse movimento,

(A) o período depende de sua massa.

(B) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado

do raio médio da órbita é uma constante de movimento.

(C) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita.

(D) a energia cinética é máxima no afélio.

(E) a energia cinética é máxima no perigeu

09-(UNICAMP-SP) A terceira lei de Kepler diz que “o quadrado do período de revolução de um planeta (tempo gasto para dar uma volta em torno do Sol), dividido pelo cubo da distância média do planeta ao Sol é uma constante.” A distância média da Terra ao Sol é equivalente a 1ua (unidade astronômica).

a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de asteróides (vide figura).

Os asteróides são corpos sólidos que teriam sido originados do resíduo de matérias existentes por ocasião da formação do  sistema solar.

Se no lugar do cinturão de asteróides essa matéria tivesse se aglutinado formando um planeta, quanto duraria o ano desse planeta em anos terrestres, se sua distância ao Sol for de 2,5 ua?

b) De acordo com a terceira lei de Kepler, o ano de Mercúrio é mais longo ou mais curto que o ano terrestre? Justifique.

10-(VUNESP) Grande parte dos satélites de comunicação estão localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do equador terrestre. Geralmente estes satélites são geoestacionários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação da Terra, 24 horas.

 Considerando-se que a órbita de um satélite geoestacionário possui raio orbital de 42000km, um satélite em órbita circular no plano do equador, com raio orbital de 10500km, tem período orbital de:

11-(MACKENZIE-SP) Dois satélites de um planeta tem períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio de órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio de órbita do segundo terá quantas unidades? 

12-(UEPB) O astrônomo alemão J. Kepler(1571-1630), adepto do sistema heliocêntrico, desenvolveu um trabalho de grande vulto, aperfeiçoando as idéias de Copérnico. Em conseqüência, ele conseguiu estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas, que permitiram um grande avanço no estudo da astronomia. Um estudante ao ter tomado conhecimento das leis de Kepler concluiu, segundo as proposições a seguir, que:

I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada.

II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita, diminui à medida que ele se afasta do Sol.                                                                     

III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de revolução.

Com base na análise feita, assinale a alternativa correta:

a) apenas as proposições II e III são verdadeiras

b) apenas as proposições I e II são verdadeiras

c) apenas a proposição II é verdadeira

d) apenas a proposição I é verdadeira

e) todas as proposições são verdadeiras

13-(ITA-SP) Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento planetário a partir da Lei da Gravitação Universal de

Newton considerando órbitas circulares.

 14-(UFRGS-RS)O ano de 2009 foi proclamado pela UNESCO o Ano Internacional da Astronomia para comemorar os

400anos das primeiras observações astronômicas realizadas por Galileu Galilei através de telescópios e, também, para celebrar a Astronomia e suas contribuições para o conhecimento humano.

O ano de 2009 também celebrou os 400 anos da formulação da Lei das Órbitas e da Lei das Áreas por Johannes Kepler. A terceira lei, conhecida como Lei dos Períodos, foi por ele formulada posteriormente.

Sobre as três leis de Kepler são feitas as seguintes afirmações

I. A órbita de cada planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos.

II. O seguimento de reta que une cada planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

III. O quadrado do período orbital de cada planeta é diretamente proporcional ao cubo da distância média do planeta ao Sol.

Quais estão corretas?

a) Apenas I.                              

b) apenas II.                      

c) apenas III.                       

d) apenas I e II.                           

e) I, II e III. 

15-(UFRGS-RS) O ano de 2009 foi proclamado pela UNESCO o Ano Internacional da Astronomia para comemorar os 400 anos das primeiras observações astronômicas realizadas por Galileu Galilei através de telescópios e, também, para celebrar a Astronomia e suas contribuições para o conhecimento humano.

O ano de 2009 também celebrou os 400 anos da formulação da Lei das Órbitas e da Lei das Áreas por Johannes Kepler. A terceira lei, conhecida como Lei dos Períodos, foi por ele formulada posteriormente.

A Astronomia estuda objetos celestes que, em sua maioria, se encontram a grandes distâncias da Terra. De acordo com a mecânica

 newtoniana, os movimentos desses objetos obedecem à Lei da Gravitação Universal.

Considere as seguintes afirmações, referentes às unidades empregadas em estudos astronômicos.

I – Um ano-luz corresponde à distância percorrida pela luz em u ano.

II – Uma unidade Astronômica (1UA) corresponde à distância média entre a Terra e o Sol.

III – No Sistema Internacional (SI), a unidade da constante G da Leia da Gravitação Universal é m/s².

Quais estão corretas?

a) Apenas I.                          

b) Apenas II.                     

c) Apenas III.                     

d) Apenas I e II.                                 

e) I, II e III. 

16-(UEMG-MG)  Em seu movimento em torno do Sol, o nosso planeta obedece às leis de Kepler. A tabela a seguir mostra,

em ordem alfabética, os 4 planetas mais próximos do Sol: Baseando-se na tabela apresentada acima, só é CORRETO concluir que

a) Vênus leva mais tempo para dar uma volta completa em torno do Sol do que a Terra. 

b) a ordem crescente de afastamento desses planetas em relação ao Sol é: Marte, Terra, Vênus e Mercúrio. 

c) Marte é o planeta que demora menos tempo para dar uma volta completa em torno de Sol. 

d) Mercúrio leva menos de um ano para dar uma volta completa em torno do Sol. 

17-(UEMG-MG)  Em seu movimento em torno do Sol, a Terra descreve uma trajetória elíptica, como na figura, a seguir:

São feitas duas afirmações sobre esse movimento:

1. A velocidade da Terra permanece constante em toda a trajetória.

2. A mesma força que a Terra faz no Sol, o Sol faz na Terra.

Sobre tais afirmações, só é CORRETO dizer que

a) as duas afirmações são verdadeiras.        

b) apenas a afirmação 1 é verdadeira.        

c) apenas a afirmação 2 é verdadeira. 

d) as duas afirmações são falsas. 

18-(ITA-SP)  Considere um segmento de reta que liga o centro de qualquer planeta do sistema solar ao centro

do Sol. De acordo com a 2ª Lei de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em tempos iguais. Considere, então, que em dado instante deixasse de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta.

Assinale a alternativa correta.

a) O segmento de reta em questão continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais. 

b) A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porem com focos diferentes e a 2ª Lei de Kepler continuaria válida. 

c) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2ª Lei de Kepler não seria mais válida. 

d) A 2ª Lei de Kepler só é valida quando se considera uma força que depende do inverso do quadrado das distâncias entre os corpos e, portanto, deixaria de ser válida.  

e) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol. 

19-(UEMG-MG)  Um astronauta, ao levar uma bússola para a Lua, verifica que a agulha magnética da bússola

 não se orienta numa direção preferencial, como ocorre na Terra. Considere as seguintes afirmações, a partir dessa observação:

1. A agulha magnética da bússola não cria campo magnético, quando está na Lua.

2. A Lua não apresenta um campo magnético.

Sobre tais afirmações, marque a alternativa CORRETA:

a) Apenas a afirmação 1 é correta.                  

b) Apenas a afirmação 2 é correta.                    

 c) As duas afirmações são corretas. 

d) As duas afirmações são falsas. 

20-(ITA-SP)  Na ficção científica A Estrela, de H.G. Wells, um grande asteróide passa próximo a Terra que, em

consequência,  fica com sua nova órbita mais próxima do Sol e tem seu ciclo lunar alterado para 80 dias.

Pode-se concluir que, após o fenômeno, o ano terrestre e a distância Terra-Lua vão tornar-se, respectivamente,

a) mais curto – aproximadamente a metade do que era antes.  

b) mais curto – aproximadamente duas vezes o que era antes.  

c) mais curto – aproximadamente quatro vezes o que era antes.  

d) mais longo – aproximadamente a metade do que era antes.  

e) mais longo – aproximadamente um quarto do que era antes.  

21-(CEFET-MG) Com referencia a cinemática gravitacional, afirma-se:

I- A velocidade do planeta Terra no afélio e maior que no periélio.

II- Os planetas giram em torno do Sol, varrendo áreas iguais em tempos iguais.

III- O período de translação de Júpiter e o maior, comparado ao dos outros planetas.

IV- O período de translação dos planetas é proporcional a raiz quadrada do cubo do raio médio das suas órbitas.

Sao corretas apenas as afirmativas

22-(UFSC-SC)

"Eu medi os céus, agora estou medindo as sombras. A mente rumo ao céu, o corpo descansa na terra."

Com esta inscrição, Johannes Kepler encerra sua passagem pela vida, escrevendo seu próprio epitáfio. Kepler, juntamente com outros grandes nomes, foi responsável por grandes avanços no que se refere à mecânica celeste.

No que se refere à história e à ciência por trás da mecânica celeste, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O astrônomo Cláudio Ptolomeu defendia o sistema geocêntrico, com a Terra no centro do sistema planetário. Já Nicolau Copérnico defendia o sistema heliocêntrico, com o Sol no centro do sistema planetário. Tycho Brahe elaborou um sistema no qual os planetas giravam em torno do Sol e o Sol girava em torno da Terra.

02. Galileu Galilei foi acusado de herege, processado pela Igreja Católica e julgado em um tribunal por afirmar e defender que a Terra era fixa e centralizada no sistema planetário.

04. Kepler resolveu o problema das órbitas dos planetas quando percebeu que elas eram elípticas, e isso só foi possível quando ele parou de confiar nas observações feitas por Tycho Brahe.

08. O movimento de translação de um planeta não é uniforme; ele é acelerado entre o periélio e o afélio, e retardado do afélio para o periélio.

16. A teoria da gravitação universal, de Newton, é válida para situações nas quais as velocidades envolvidas sejam muito grandes (próximas à velocidade da luz) e o movimento não ocorra em campos gravitacionais muito intensos.

32. A teoria da relatividade geral de Einstein propõe que a presença de uma massa deforma o espaço e o tempo nas suas proximidades, sendo que, quanto maior a  massa e menor a distância, mais intensos são seus efeitos. Por isso a órbita de Mercúrio não pode ser explicada pela gravitação de Newton.

 23-(UFMG-MG)

Nesta figura está representada, de forma esquemática, a órbita de um cometa em torno do Sol:

Nesse esquema, estão assinalados quatro pontos – P. Q, R e S – da órbita do cometa.

01-Assinalando com um x a quadrícula apropriada, indique em qual dos pontos – P, Q, R ou S – o módulo da aceleração do cometa é maior.

Justifique sua resposta.

24-(UFG-GO)

As ideias de Nicolau Copérnico (1473-1543) e de Albert Einstein (1879-1955) marcaram o pensamento científico de

suas respectivas épocas, tornando-os alvo de censura no cenário político. Quais são essas idéias e por que elas motivaram conflitos?

(A) Copérnico afirmou que a Terra gira em torno do Sol em órbitas elípticas e Einstein mudou os conceitos de espaço-tempo. As ideias de Copérnico eram contrárias aos ensinamentos aristotélicos e as de Einstein foram questionadas na Alemanha em razão de sua origem étnica.

(B) Copérnico afirmou que a Terra gira em torno do Sol em órbitas elípticas e Einstein propôs a teoria da relatividade. As idéias de Copérnico eram contrárias aos ensinamentos aristotélicos e as de Einstein foram refutadas por seu apoio à construção da bomba atômica norte-americana.

(C) Copérnico afirmou que a Terra gira em torno do Sol em um ano e em torno do seu eixo em um dia e Einstein propôs a teoria da relatividade. As idéias de Copérnico eram contrárias ao modelo geocêntrico, enquanto as de Einstein foram contestadas devido ao seu apoio à criação do Estado de Israel.

(D) Copérnico propôs o modelo heliocêntrico e Einstein, a teoria da relatividade.  As idéias de Copérnico contrariaram os dogmas da Igreja e as de Einstein foram refutadas por seu apoio à construção da bomba atômica norte-americana.

(E) Copérnico propôs o modelo heliocêntrico e Einstein mudou os conceitos de espaço-tempo. As idéias de Copérnico contrariaram os dogmas da Igreja e as de Einstein foram questionadas na Alemanha em razão de sua origem étnica.

25-(UEPG-PR)

Aproximadamente, durante um período de quase  dois mil anos, a humanidade aceitou a teoria geocêntrica, isto é, a Terra como centro do Universo. Graças ao trabalho de grandes cientistas, entre eles Johannes Kepler, estabeleceu-se a verdade em relação ao Sistema Solar, a teoria heliocêntrica tendo o  Sol como o centro do Sistema Solar e os planetas girando ao seu redor.  Com relação às leis enunciadas por Kepler, assinale a alternativa correta.

a) Um planeta em órbita em torno do Sol não se move com velocidade constante, mas de tal maneira que uma linha traçada do  planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

b) Todos os planetas do Sistema Solar, incluindo a Terra, giram em torno do Sol em órbitas circulares, tendo o Sol como centro.

c) Periélio é a aproximação  entre os planetas  e o Sol, enquanto que afélio é o afastamento  entre os planetas e o Sol. No inverno ocorre o periélio.

d) A  segunda lei de Kepler prova que a maior velocidade de translação dos planetas, no periélio, é menor que nos pontos mais afastados, no afélio.

e) As  leis enunciadas  por Kepler são válidas apenas para o Sistema Solar.

(UNICAMP-SP) TEXTO PARA AS QUESTÕES 26 e 27

Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a

 situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (R_T) mede 1,5.10¹¹m e que o raio da órbita de Júpiter (R_J) equivale a 7,5.10¹¹m

26-(UNICAMP-SP)

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período  de revolução e o raio da órbita desses planetas em torno do Sol obedecem à relação (T_j/T_T)² = (R_J/R_T)³, em que T_J e T_T são os períodos de Júpiter  e da Terra, respectivamente. Considerando as órbitas circulares representadas na figura, o valor de T_J em anos terrestres é mais próximo de

27-(UNICAMP-SP)

Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol faz um ângulo de 120º com o segmento de reta que liga a Terra

ao Sol, a distância entre os dois planetas é de

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

leis de Kepler da Gravitação Universal

01- C (vide teoria)

O2- A (vide teoria)

03- (01 + 02 +08)=11(vide teoria)

04- E (vide teoria)

05- Regra de três  ---  1 volta – 12 meses ---   ¼ volta - T  ---  T=3 meses R- D

06- a) De 1^o de Abril a 30 de Maio = 60dias  ---  regra de três  ---  365 dias – 6,98.10²²  --  60 dias  -- A  ---  A=69,8.6.10²²/365  ---  A»1,14.10²²m²         

b) Segunda lei de Kepler (lei das áreas)

07- T_OP=T_MN, pela segunda lei de Kepler, e V_MN(afélio)<V_OP(periélio), como conseqüência dessa lei.

R- B

08- Energia cinética=movimento=velocidade R- E

09- T_T²/R_T³= T_P²/R_P³  ---  (1)² ano/(1)³ ua = T_P²/(2,5)³ua  ---  T_p²=(2,5)³  ---  T_P=2,5.√(25/10)  ---    T_P » 4 anos terrestres         

b) Como quanto maior a distância do planeta ao Sol, maior é o ano desse planeta (terceira lei de Kepler, lei dos períodos), portanto será mais curto.

10- T₁²/R₁³=T₂²/R₂³  ---  (24)²/(42)³.10⁹=T²/(105)³.10⁶  ---  T=3√2  ---  R- A

11- 32²/1³=32².8²/R³  ---  R³=(2³)²  ---  R=4u

12- C (vide teoria)

13- Observe a figura abaixo  ---  M: massa do Sol  ---  m: massa do planeta  ---  r: raio da órbita  ---  : velocidade orbital do planeta;

: força gravitacional;  ---  : força resultante centrípeta  ---  3ª lei de Kepler afirma que: “o quadrado do período de translação

(T) do planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio de sua órbita”  --- T² = k r³  ---  como o movimento é circular uniforme, a força gravitacional comporta-se como resultante centrípeta  ---  F_G=R_C  ---  GMm/r²=mV²/r (I)  ---  V=ΔS/Δt=2πr/T  ---  V²=4π²r²/T² (II)  ---  (II) em (I)  ---  4π²r²/T²=GM/r  ---  r³/T²=GM/4π²  ---  T²=4π²r³/GM  ---  observe que G,M e π são todos constantes constituindo uma só constante k  ---  T²=kr³

14- As três afirmações são, nessa mesma ordem, a 1ª, 2ª e 3ª Leis de Kepler  ---  R- E

15- I. Correta  ---   um ano luz corresponde à distância percorrida pela luz em ano, no vácuo.

II. Correta.

III. Errada  ---  m/s²  é uma das unidades de aceleração

R- D

16- Da 3ª lei de Kepler: o quadrado do período de translação (ano do planeta) é diretamente proporcional ao cubo do raio médio da órbita  --- T² = k r³, podemos concluir que quanto mais distante do Sol orbitar o planeta, mais longo é seu ano  ---  portanto, os chamados planetas internos, Mercúrio e Vênus, têm anos mais curtos do que o ano terrestre  ---  R- D  

17- 1. Falsa  ---  quando a Terra vai do afélio para o periélio, aumenta o módulo da velocidade, e quando vai do periélio para o afélio, diminui o módulo da velocidade.

2. Verdadeira  ---  de acordo com o princípio da ação-reação (3ª lei de Newton), ação e reação têm sempre a mesma intensidade.

R- C

18- Observe pela figura abaixo que, se o efeito da gravitação deixasse de existir, o planeta sairia pela tangente entrando em

movimento retilíneo uniforme, percorrendo sempre a mesma distância b em temos iguais, portanto varrendo a mesma área  ---   A = b/2  ---  R- A

19- 1. Falsa. O campo magnético da agulha existe, porém, para que essa agulha sofra alguma deflexão, ela tem que sofrer influência de outro campo magnético.

2. Verdadeira. Se a agulha da bússola não sofre deflexão, é porque ela não está em presença de algum campo magnético, sendo, portanto, nulo o campo magnético na Lua. 

R- B

20- O ano terrestre é o período de translação da Terra em torno do Sol (tempo que a Terra demora para efetuar uma volta completa ao redor do Sol)  ---  se a nova órbita fica mais perto do Sol  ---   r’ < r  ---  usando a 3ª lei de Kepler  ---  (T’/T)²=(r’/r)²  ---  observe nessa expressão que se r’< r  ---  T’< T  ---  o que torna o ano terrestre mais curto  ---  o período aproximado do ciclo lunar é T = 27 dias  ---  o novo período é T’ = 80 dias  ---  usando novamente a 3ª lei de Kepler  ---  (r’/r)³=(80/27)²  ---  r’≈  ---  r’≈2r  ---  R- B

21- R- C  ---  veja teoria

22-01. Correta.

02. Falsa  --- Galileu Galilei afirmou que Sol ocupava o centro do Universo com os planetas girando ao seu redor.

04- Falsa  --- Kepler conclui que as órbitas eram elípticas baseado nas observações e anotações de Tycho Brahe.

08- Falsa  ---  é exatamente o contrário (veja fisicaevestibular-lei das áreas de Kepler).

16. Falsa  ---  para velocidades próximas às da luz são válidas as leis de Einstein.

32- Verdadeira.

Corretas: 01 e 32  ---  Soma=33.

 23- Pode ser resolvida pela segunda lei de Kepler (lei das áreas) de enunciado: “ O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais aos tempos gastos para percorrê-las”

Então:

A₁/∆t₁ ~A₂/∆t₂=constante=K

Essa constante K depende do planeta e recebe o nome de velocidade areolar

Observe na expressão acima que quando A₁=A₂   ---  ∆t₁= ∆t₁, ou seja, para o arco maior 34, ser percorrido no mesmo intervalo de tempo que o arco menor12, a velocidade em 3,4 (mais perto do Sol - periélio) deve ser maior que a velocidade em 1,2 (mais afastado do Sol – afélio).Portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio  ---  como a força resultante sobre o cometa é o produto de sua massa pela sua aceleração e como a aceleração é maior no afélio (ponto P), a força resultante sobre ele no afélio (ponto P) deverá ser maior  ---  ou ainda, a intensidade da força resultante sobre o cometa  corresponde à força de atração gravitacional entre ele e o Sol, fornecida por   F_R=G.M.m/r²  ---  veja que, como G,M e m são constantes, a intensidade da força resultante sobre o cometa é inversamente proporcional à distância r e, como no afélio r é menor, nele a força resultante terá maior intensidade.

24- Copérnico propôs o modelo heliocêntrico que afirmava que a Terra girava ao redor do Sol,  contrariando os dogmas da igreja católica   --- Copérnico nada afirmou sobre as formas das órbitas, mais tarde declaradas como elípticas pela Primeira Lei de Kepler  ---  Einstein propôs a teoria da relatividade modificando o conceito espaço tempo e revolucionando a física  ---  suas

Idéias foram questionadas na Alemanha devido ao fato de ser judeu  ---  enviou uma carta ao presidente dos Estados Unidos na qual contestava a utilização de suas teorias para fins bélicos  ---  R- D

25- a) Verdadeira  ---  Segunda lei de Kepler (lei das áreas)  ---  “ O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais  aos tempos gastos para percorrê-las”

Essa constante K depende do planeta e recebe o nome de velocidade areolar  ---  observe na expressão acima que quando A₁ = A₂ 

---  ∆t₁ = ∆t₂, ou seja, para o arco maior 34, ser percorrido no mesmo intervalo de tempo que o arco menor12, a velocidade em 3,4 (mais perto do Sol - periélio) deve ser maior que a velocidade em 1,2 (mais afastado do Sol – afélio),  ---  portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio.

b) Falsa  ---  as órbitas são elípticas com o Sol ocupando um dos focos da elipse  ---  primeira lei de Kepler.

c) Falsa  ---    O verão não ocorre quando a Terra está no periélio e nem o inverno quando ela está no afélio  ---  as estações ocorrem devido ao fato de áreas da Terra, devido à inclinação da mesma, receberem mais ou menos luz do Sol durante seu movimento de translação. 

d) Falsa  ---  veja justificativa a.

e) Falsa  ---  são válidas para todo o Universo.

R- A             

26- Substituindo os dados fornecidos na expressão da terceira lei de Kepler, também fornecida  ---   (T_j/T_T)² = (R_J/R_T)³  ---  (T_J/1)² =(7,5.10¹¹/1,5.10¹¹)³  ---  T_J² = 5³=125  ---  T_J = √(125)  ---  T_J=11,180 anos terrestres  ---  R- C

Observação: Na realidade, a terceira lei de Kepler afirma que T²/R³=K’=constante  ---   observe que a medida que R aumenta, T também aumenta, o que significa que quanto mais afastado o planeta estiver do Sol maior será seu ano (tempo que demora para dar um volta completa ao redor do Sol)  ---  para dois planetas quaisquer como,  por exemplo, Terra e Marte, vale a relação  T_T²/R_T³=T_M²/R_M³  ---  ao efetuar um volta completa ao redor do Sol num período (ano) T um planeta percorre ∆S=2πR e sua velocidade orbital vale V=∆S/T  ---  T=2πR/V, que substituída em T²/R³=K’  fornece  4π²R²/VR³=K’  ---  V=4π²/K’R  ---  V=constante/R  ---  V é inversamente proporcional a R ou seja, quanto mais afastado o satélite ou planeta estiver, menor será sua velocidade orbital.

27-

Aplicando a lei dos cossenos  ---  d²  = d₁² + d₂² – 2.d₁.d₂.cos120^o  ---  d=√(R_J² + R_T² –

2.R_j.R_T.cos120^o)  ---  d=√(R_J² + R_T² -2.R_J.R_T.(-1/2)  ---  d=√(R_J² + R_T² + R_j.R_T)  ---  R- D