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(dicas para vestibulares)

Cinemática 1

Introdução à cinemática (conceitos e definições)

Partícula ou ponto material e corpo extenso

“Se as dimensões (tamanho) de um móvel são desprezíveis em comparação com as dimensões dos outros corpos que participam do fenômeno em estudo, dizemos que se trata uma partícula ou ponto material. Se essas dimensões do corpo não podem ser desprezadas, ele é chamado de corpo extenso”.

Assim, um mesmo corpo pode ser um ponto material ou corpo extenso, dependendo da situação.

Se uma jamanta, por exemplo, de 50m de comprimento estiver em uma rodovia indo de São Paulo ao Rio de Janeiro, as suas dimensões não têm a menor importância no estudo do seu movimento, trata-se de um ponto material (figura 2); no entanto, se a mesma jamanta estiver percorrendo um quarteirão de 100m, suas dimensões não podem ser desprezadas e neste caso trata-se de um corpo extenso (figura1).

Repouso e movimento

Assim, no exemplo acima, a pessoa estará em movimento em relação à cidade, ou à uma árvore, ou aos trilhos e em repouso em relação ao trem (qualquer ponto fixo do trem).

Trajetória 

Pode ser considerada como sendo o lugar geométrico dos sucessivos pontos ocupados pelo móvel no decorrer do tempo ou também pode ser considerado como o caminho percorrido pelo móvel no decorrer do tempo.

Informações úteis (dicas)

Qualquer elemento do sistema solar e do Universo (planetas, estrela, satélites, etc.) está sempre em movimento um em relação ao outro.

 A trajetória de um corpo depende do referencial.

Exemplo: Considere um vagão passando por uma plataforma com velocidade constante, tendo em seu interior uma pessoa sentada e, na plataforma, outra pessoa observando o vagão passar.

Um lustre se desprende do teto. Observe nas figuras abaixo que cada pessoa, ou seja, cada referencial observará trajetórias diferentes para o lustre.

Para uma pessoa imóvel no vagão ou para qualquer referencial fixo no vagão a trajetória do lustre será uma reta vertical.

Um observador parado (referencial) na plataforma verá, à medida que o vagão vai passando, a

trajetória do lustre como um arco de parábola, pois ao mesmo tempo em que o lustre se desloca para a direita, ele cai em movimento vertical.

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Cinemática 2

Velocidade escalar média e Ultrapassagens

Informações úteis (dicas)

 Assim como o deslocamento, a velocidade também depende do referencial.

Ultrapassagens

Informações úteis (dicas)

Dois móveis de tamanhos não desprezíveis numa ultrapassagem movendo-se no mesmo sentido, como um ônibus ultrapassando um caminhão.

Parar um deles, como por exemplo, o caminhão (como se fosse uma ponte ou túnel) e fazer o ônibus ultrapassá-lo utilizando velocidade relativa que no caso é V_R = V_o – V_c, pois estão no mesmo sentido.

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Cinemática 3

Movimento uniforme e encontro de móveis em MU

Movimento uniforme

Denomina-se movimento uniforme (MU) qualquer movimento cuja velocidade escalar seja constante e diferente de zero.

Função Horária do MU

Informações úteis (dicas)

 Em todo (MU) a velocidade instantânea (indicação do velocímetro em cada instante) coincide com a velocidade média em qualquer intervalo de tempo considerado.

Na função horária S = S_o + V.t , se V é negativo o movimento é retrógrado (se move em sentido

contrário ao dos marcos crescentes da trajetória) e, se é positivo o movimento é progressivo (se move a favor dos marcos crescentes da trajetória).

Encontro de móveis em MU

Suponha dois móveis (A e B) em MU se movendo com funções horárias S_A = S_0A+ V_A.t e S_B = S_0B + V_B.t se movendo de maneira que eles se encontrem e, se você quiser encontrar o tempo do encontro basta igualar as duas equações e isolar t.

Substituindo esse t numa das equações você determina a posição (espaço, local) do encontro.

Para conferir o procedimento veja os exercícios 10, 11, 12 e 13, com as respectivas resoluções comentadas, em fisicaevestibular.com.br – Mecânica – Cinemática - Movimento uniforme e encontro de móveis em MU.

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Cinemática 4

Aceleração (escalar) média

Definição de aceleração escalar média

Informações úteis (dicas)

Significado de aceleração (escalar) média

 A aceleração escalar média de um móvel significa de quanto sua velocidade varia na unidade de tempo. 

Assim, se um móvel tem aceleração escalar média de 2m/s², isto significa que sua velocidade  varia de 2m/s em cada 1s; de 8km/h² significa que sua velocidade varia de 8km/h em cada 1h, e assim por diante.

  Significado de aceleração instantânea 

Classificação dos movimentos

Observe atentamente o resumo do esquema abaixo:

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Cinemática 5

Função (equação) horária do espaço de um MUV

Velocidade média num MUV

extremos de dois intervalos de tempo quaisquer.

Função (equação) horária do espaço de um móvel em MUV

Casos particulares para a aplicação da equação horária do espaço do MUV

1^o  cronômetro acionado (t_o = 0) no instante em que o móvel passa pela origem (S_o = 0) das posições (espaços) com velocidade inicial V_o.

2^o  O móvel parte do repouso de uma posição S_o qualquer.

3^o  O móvel parte do repouso e da origem dos espaços.

Relação entre a equação horária do espaço e a da velocidade no MUV

Equação de Torricelli

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Cinemática 6

Gráficos do Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Diagrama da velocidade em função do tempo

Como a função horária da velocidade de um MUV é V = V_o + a.t, que é uma função do primeiro grau sua representação gráfica é uma reta de inclinação não nula.

Relação entre o deslocamento ∆S e o gráfico da velocidade x tempo de um MUV.

Em todo gráfico VXt a área entre a reta representativa e o eixo dos tempos é numericamente

igual à variação de espaço ΔS, entre dois instantes quaisquer t₁ e t₂.

Análise detalhada do gráfico velocidade x tempo do MUV

Resumo de todos os gráficos do MUV

Resumo dos gráficos do espaço, velocidade e aceleração do MUV, com a > 0 e com

a < 0.

 Lembre-se que os gráficos não mostram as trajetórias dos móveis. Eles apenas representam as equações (funções) do movimento.

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Cinemática 7

Lançamento vertical para cima

Considere um corpo lançado verticalmente para cima, a partir de um ponto A (origem), com velocidade escalar inicial Vo.

Informações úteis - Dicas

 O tempo subida é igual ao tempo de descida.

 A velocidade (V_o) de lançamento na origem é igual à mesma velocidade de chegada à origem, mas de sinal contrário (-V_o).

 Em qualquer ponto da trajetória o corpo tem duas velocidades de mesmo módulo, uma positiva na subida e uma negativa na descida.

Se um móvel A partir um tempo x antes de um móvel B, têm-se: t_A – t_B = x  t_A = t_B + x, que deve-se substituir nas funções horárias do espaço ou da velocidade para continuar a resolução do exercício.

Representação gráfica do movimento:

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Cinemática 8

Queda livre vertical

Corpo abandonado de certa altura h do solo

Corpo lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial V_o diferente de 0 e certa altura h do solo.

Informações úteis (Dicas)

 Se um objeto é abandonado do interior de outro está descendo com velocidade V_o, deve-se considerar como se o objeto estivesse sendo lançado verticalmente para baixo com velocidade V_o.

Exemplo  Um helicóptero desce verticalmente em movimento uniforme com velocidade constante

de 50 km/h, quando um pedra  é abandonada de seu interior. Nesse caso, a pedra, ao abandonar o helicóptero tem a velocidade dele, ou seja, V_o = 50 km/h.

Corpos abandonados com V_o = 0 ou lançados verticalmente para baixo com mesma velocidade V_o ≠ 0 de um mesmo local e da mesma altura (desprezando-se os efeitos do ar) demoram o mesmo tempo para chegar ao solo, independente de suas massas.

A velocidade com que eles chegam ao solo também é a mesma.

 A aceleração da gravidade g varia com a latitude e altitude, mas, próximo à superfície da Terra, pode-se considerá-la como constante e de valor g = 10m/s². Mas, lembre-se de que medida a

uma latitude de 45^o e ao nível do mar, ela é chamada aceleração normal da gravidade  e vale g = 9,80655m/s².

Gráficos da queda livre, com o corpo partindo da origem e a trajetória orientada para baixo.

Proporções de Galileu para queda livre com V_o = 0 e desprezando-se a resistência do ar.

Para intervalos de tempos iguais e consecutivos, um corpo em queda livre percorre distâncias cada

vez maiores, na proporção dos ímpares consecutivos: no primeiro segundo, o móvel cai uma distância d; no segundo seguinte, percorre 3d; no terceiro segundo, 5d, e assim por diante.

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Cinemática 9

Vetores

Características de um vetor

 Direção  localização no espaço, fornecida pela reta suporte (S) do segmento. Exemplos:

 Sentido  dado pela seta. Exemplos:

Intensidade ou módulo  composto pelo número e pela unidade de medida, ou seja, pelo comprimento do segmento, numa certa escala adotada. A intensidade de um vetor  costuma ser representada por P (sem a seta) ou por e lê-se “intensidade ou módulo do vetor ”

Exemplos

Informações Úteis (Dicas)

 Na intensidade não se deve escrever  = 20m/s, mas sim V = 20m/s (sem a seta)

 Um vetor nulo deve ser representado da seguinte maneira =

A direção de um vetor também pode ser definida como sendo o ângulo que ele forma com a horizontal ou a vertical.

Exemplo

Determine a intensidade (no SI), direção e sentido do vetor  da figura abaixo.

 Adição de vetores

Método da linha poligonal

Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (vetor resultante)  pelo método da linha poligonal:

Esse método é mais utilizado quando se está interessado apenas na orientação (direção e sentido) do vetor soma (resultante) .

 Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (vetor resultante)pelo método da linha poligonal:

Se, na adição de vetores, a extremidade do último coincidir com a origem do primeiro, o resultado é um vetor nulo ().

Método do paralelogramo

Explicando com um exemplo:

Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (resultante) pelo método do paralelogramo.

 Coloque a origem dos dois vetores em um mesmo ponto e, em seguida,trace pelas extremidades de cada um deles, uma paralela ao outro, com linha pontilhada.  

Unindo os pontos indicados e colocando a seta conforme a figura acima, você obterá o vetor que é o vetor soma ou o vetor resultante.

Sendo β o ângulo entre os dois vetores, pode-se determinar o módulo ou intensidade do vetor  pela lei dos cossenos:

Subtração de vetores

Dois vetores são opostos quando têm a mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários.

Subtrair um vetor é somá-lo ao oposto do outro.

Exemplos:

Dado o vetor  de intensidade V=3 unidades (3u), pede-se:

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Cinemática 10

LANÇAMENTO OBLÍQUO

Decomposição do movimento oblíquo

O movimento oblíquo é decomposto num movimento segundo a direção horizontal (eixo X) e outro segundo a direção vertical (eixo Y).

 Assim, na direção vertical, você tem um lançamento vertical para cima, com aceleração igual à aceleração da gravidade  e velocidade inicial de lançamento V_oy, tal que V_oy=V_o.senα, onde α é o ângulo de lançamento.

Equações do movimento na direção vertical

Movimento parcial na direção horizontal (eixo X)

Sendo o movimento apenas na horizontal, a projeção do vetor aceleração da gravidade () no eixo X é nula, ou seja, na direção horizontal do lançamento oblíquo não existe aceleração e, nesse caso o movimento é uniforme (MU) com velocidade constante Vox = Vocosα.

Informações úteis (dicas)

Movimento parcial na Vertical (eixo Y)

 Na subida, o movimento é progressivo, pois o deslocamento ocorre no sentido crescente da trajetória, e retardado, pois o módulo da velocidade está diminuindo.

 Na descida, o movimento é retrógrado, pois o deslocamento ocorre nosentido decrescente da trajetória, e acelerado, pois o módulo da velocidade está aumentando.

 No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do corpo se anula (V_y = 0), pois é o ponto em que o corpo inverte o sentido de seu movimento e nesse ponto a altura atingida pelo corpo é máxima.

 O tempo de subida é igual ao tempo de descida.

 A velocidade (V_oy) de lançamento na origem é igual à mesma velocidade de chegada à origem, mas de sinal contrário (-V_oy).

 Em qualquer ponto da trajetória o corpo tem duas velocidades de mesmo módulo, uma positiva na subida e uma negativa na descida.

Representação gráfica do movimento na vertical

Movimento parcial na direção horizontal (eixo X)

 O alcance é máximo quando α = 45^o e nesse caso o alcance X_máx é quatro vezes maior que a altura máxima alcançada (h_máx)    X_máx = 4_hmáx.

 Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α₁ + α₂ = 90^o), e a velocidade inicial for a mesma, o alcance horizontal é o mesmo.

 Exemplo na figura acima.

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Cinemática 11

Lançamento horizontal

Colocando-se a origem do sistema de referência no ponto de lançamento, orienta-se, por exemplo, o eixo X para a direita e o eixo Y para baixo.

Decompõe-se, em cada instante o movimento em duas parcelas:

Segundo o eixo X   trata-se de um movimento horizontal uniforme com velocidade constante de intensidade V_o, que é a velocidade de lançamento  S = S_o + V.t  X= 0 + V_o.t   X = V_o.t

Segundo o eixo Y   trata-se de um movimento uniformemente variado com velocidade vertical inicia nula (V_oy = 0, ou seja, é uma queda livre com o corpo abandonado da origem, sujeito apenas à aceleração da gravidade, de intensidade g, direção vertical e sentido para baixo. 

Equações:

S = S_o + V_oy.t + at²/2   Y= 0 + 0.t + gt²/2  Y=g.t²/2

V_y = V_oy + a.t   V_y= 0 + g.t   V_y = g.t

V² = V_o² + 2.a.ΔS   V_y² = V_oy² + 2.g.Δh  V_y² = 0² + 2.g.Δh   V_y² = 2.g.Δh  

Informações úteis (Dicas)

 Observe na figura abaixo que, à medida que o abacaxi vai caindo, a flecha também cai, na mesma proporção, pois ambos caem sujeitos apenas à ação da aceleração da gravidade g.

Então, se o garoto fizesse mira acima do abacaxi e ele não caísse, o garoto erraria o alvo, pois a flecha, à medida que avança na horizontal com velocidade constante V_o, também está caindo com velocidade V_y.

Se o instante da queda do abacaxi e do lançamento da flecha for simultâneo e a flecha mirada nele, os dois possuirão em cada instante, as mesmas velocidades horizontais e verticais atingindo sempre o abacaxi. 

Para se determinar o instante e a altura do encontro, você deve isolar o tempo na equação X = V_ot    t =X/V_o e substituí-lo na equação da altura Y = gt²/2.

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Cinemática 12

COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

Se você quiser se aprofundar muito nesse conteúdo, as informações e muitas aplicações úteis estão em

fisicaevestibular.com.br – Mecânica – Cinemática – Composição de movimentos.

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Cinemática 13

CINEMÁTICA VETORIAL

 Deslocamento vetorial e deslocamento escalar

Pelo exemplo abaixo você consegue entender os conceitos de deslocamento escalar e deslocamento vetorial.

Já o deslocamento escalar ou variação de espaço (ΔS), que representa a distância efetivamente (realmente) percorrida pelo corpo (distância medida sobre a trajetória) é diferente de zero e vale, em módulo, ΔStotal= ΔS1 + ΔS2.

Informações úteis (Dicas)

Em toda trajetória retilínea, a tangente à trajetória está sobre a própria reta e, assim, o único

movimento em que o vetor velocidade (velocidade vetorial) permanece constante em todos os aspectos (intensidade, direção e sentido) é o movimento retilíneo e uniforme (MRU).

Observação: No movimento retilíneo acelerado ou retardado, o vetor velocidadevaria, pois seu módulo (intensidade) está aumentando ou diminuindo, respectivamente.

  No movimento circular uniforme, movimento em que a intensidade (módulo) da velocidade

vetorial é constante, a direção   e sentido variam, poisé tangente à trajetória em cada ponto.

Informações úteis (dicas)

Aceleração tangencial e velocidade nas diversas trajetórias

Trajetória Circular

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Cinemática 14

MOVIMENTO CIRCULAR

Movimento circular Uniforme (MCU)

No MCU a trajetória do corpo é uma circunferência e o módulo de sua velocidade permanece constante no decorrer do tempo.

Conceitos e definições

Período (T) de um movimento circular uniforme (MCU)  definido como sendo o tempo que o móvel demora para efetuar uma volta completa (ciclo). Como o MCU é um movimento periódico, esse tempo é constante e representado pela letra (T).

Frequência (f) de um MCU  definida com sendo o número de voltas completas (ciclos) que um móvel ou ponto material efetua na unidade de tempo.

Unidades de frequência no SI  são normalmente usadas: (voltas)/s, ou (ciclos)/s, (oscilações)/s ou ainda (vibrações)/s, às quais denominam-se hertz, cujo símbolo é Hz, todas do sistema internacional de unidades (SI).

Utilizam-se também as unidades:

Algumas vezes pode surgir também como unidade de frequência a rpm (rotações por minuto), cuja relação com o Hz (rotações por segundo) é: 1 Hz = 60 rpm.

Velocidade escalar (V) de um MCU Para qualquer móvel em MCU, o espaço percorrido

(ΔS) durante um período Δt = T (tempo que demora para efetuar uma volta completa) será ΔS=2πR, onde R é o raio da circunferência.

Velocidade angular (W) de um MCU observe na figura que, no intervalo de tempo Δt = t – t_o, o raio que acompanha o móvel em seu movimento descreveu “varreu” um ângulo Δφ = φ – φ_o.

Relação entre velocidade escalar (V) e angular (W)

Acoplamento de polias e engrenagens

Informações úteis (dicas)

Os dois carros A e B da figura mantêm-se lado a lado numa pista circular, no intervalo de tempo Δt.

As bicicletas possuem coroas dentadas dianteiras (onde estão os pedais) unidas por uma corrente às coroas dentadas traseiras (ligadas ao eixo da roda traseira).

O número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada pedalada, que corresponde a uma volta completa dos pedais da roda dentada dianteira, depende do tamanho relativo das coroas que estão ligadas pela corrente e obedecem à relação f_d.R_d = f_t.R_t.

Observe que a frequência da roda dentada traseira (f_t) é a mesma que a da roda traseira.

Assim, se você quiser manter alta velocidade, você deve acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de menor raio e se você quiser fazer menos esforço numa subida íngreme, você deve acionar a coroa dianteira de menor raio com a coroa traseira de maior raio (veja que nesse caso a velocidade diminui)

Função horária do MCU

Movimento circular uniformemente variado (MCUV)