Características dos elementos de um circuito elétrico

 Considere o circuito elétrico esquematizado na figura abaixo onde, A₁, A₂, A_{3, .} . . . . . . ., A₁₂ são

bipolos.

Definições dos principais elementos de um circuito elétrico

  nó da rede ponto de interligação de pelo menos dois condutores. São nós os pontos A, B e C.

 ramo da rede trecho da rede compreendido entre dois nós consecutivos. São ramos os trechos: BFDA, AEC e BGHC, AB e BC.

 malha da rede toda cadeia de ramos que forma um circuito fechado. Assim, todo circuito poligonal fechado constitui uma malha. São malhas: ABFDA, AECBA e BGHCB.

 Primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós: “A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem do mesmo nó”.

Exemplo numérico    determine a intensidade da corrente i₃ do trecho de circuito abaixo:

Segunda lei de Kirchhoff ou lei das malhas: “Percorrendo uma malha num mesmo sentido, é nula a soma algébrica das tensões encontradas em cada elemento do circuito”

Baseado na lei acima, escolhendo um sentido de percurso para cada malha, partindo de um ponto, retornando ao mesmo ponto e igualando esta soma algébrica de tensões a zero, você pode estabelecer as seguintes convenções:

 Convenção para o sinal de E:

 Convenção para o sinal de R.i

Quando o sentido da corrente i coincidir com o sentido do percurso escolhido para a malha, o sinal de R.i será positivo e quando o sentido da corrente i não coincidir com o sentido de percurso escolhido para a malha, o sinal R.i será negativo.

Sequência de operações para resolução de exercícios sobre circuitos compostos

1^a  Assinalar com letras maiúsculas os nós da rede.

2^a  Atribuir a cada ramo uma corrente com sentido arbitrário.

3^a  Atribuir polaridade arbitrária a eventuais bipolos que não as tenham.

4^a  Aplicar a primeira lei de Kirchhoff a cada nó.

5^a  Atribuir a cada malha independente um sentido arbitrário (horário ou anti-horário) de percurso.

6^a  Aplicar a segunda lei de Kirchhoff, ou seja, percorrer cada malha obedecendo ao percurso fixado e às convenções vistas anteriormente.

7^a  Resolver o sistema de equações obtidas em 4^a e 6^a.

8^a  Interpretar os resultados, lembrando que:

a) deve-se inverter o sentido das correntes que resultarem negativas.

b) Inverter as polaridades das tensões que resultarem negativas.

9^a  Para fornecer as respostas deve-se, depois de corrigir no esquema os sentidos das correntes e das polaridades das tensões, expressa-las por números positivos.

Deve-se observar, no cálculo da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de um circuito, que, se quiser determinar a ddp (U_AB=V_A - V_B) entre dois pontos A e B, deve-se seguir o circuito de A até B obtendo determinado valor em volt e que, se seguir em sentido contrário obterá resultado simétrico.

Deve-se lembrar que, num gerador, o sentido da corrente é do polo negativo para o polo positivo, ao contrário do receptor. 

Exemplos de exercícios sobre a aplicação da sequência acima, ou seja, como proceder para resolver exercícios sobre circuitos compostos:

 Dado o ramo do circuito abaixo, determine a diferença de potencial entre os pontos A e D, sabendo que a corrente flui de A para D e tem intensidade de 3 A.

Percorrendo o ramo no sentido de A para D e observando as convenções de sinais para E e para R.i (veja informações acima)    U_AD = V_A – V_D = +(2.3) - 6 +(3.3) + 2 +(2.3)  + 2 +(4.3)    U_AD = V_A – V_D= +31V    se você tivesse percorrido o ramo de D para A, obedecendo as mesmas convenções, você teria obtido U_DA = V_D – V_A = - 31V

 No circuito esquematizado, determine a intensidade e o sentido da corrente elétrica e a diferença

de potencial entre A e B. Estabeleça para a corrente e para o percurso o sentido horário.

Esse assunto é trabalhoso e é importante que você resolva no mínimo alguns exercícios, analisando atentamente as resoluções. Selecionei alguns que são os de números 03, 06, 11, 16, 20 e 22.

Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre

Circuitos Compostos

01-(UFU-MG) Considera o trecho de um circuito elétrico apresentado a seguir, contendo um resistor R, um gerador de força eletromotriz E e um fio ideal AB. Os pontos A, C e D não se ligam diretamente no circuito.

É correto afirmar que

a) a potência dissipada no resistor R depende, diretamente, da intensidade da corrente que o atravessa e, inversamente, da diferença de potencial entre B e D.

b) a aplicação da 1^a Lei de Kirchhoff (lei dos nós) no ponto B garante a conservação da carga elétrica no trecho apresentado.

c) independentemente do restante do circuito, há conservação de energia no trecho apresentado, o que impõe que Ei = R[i(r)]², sendo i a intensidade da corrente através do gerador e i(r) a intensidade da corrente que percorre o resistor.

d) a diferença de potencial entre os pontos C e A (V_C – V_A) é zero.

02-(PUC-SP) Entre os pontos A e B é mantida uma tensão U=20V. A corrente que atravessa esse trecho tem intensidade

03-(UNESP-SP) Três resistores, P, Q e S, cujas resistências valem 10Ω, 20Ω e 20Ω respectivamente, estão ligados ao ponto A de um circuito. As correntes que passam por P e por Q são 1,00 A e 0,50 A, como mostra a figura.

a) Qual é a ddp entre A e C?

b) Qual é a ddp entre B e C?

04-(PUC-SP) No circuito da figura, a diferença de potencial V_A – V_B, com a chave K aberta, tem valor:

05-(PUC-SP) Com relação ao circuito do exercício anterior: Fechando a chave K da figura anterior, a diferença de potencial V_A – V_B passa a ter valor:

06-(UNESP-SP) O esquema representa duas pilhas ligadas em paralelo, com as resistências internas indicadas.

a) Qual o valor da corrente que circula pelas pilhas?

b) Qual é o valor da diferença de potencial entre os pontos A e B e qual é o ponto de maior potencial?

c) Qual das duas pilhas está funcionando como receptor?

07-(UFPE-PE) Calcule o potencial elétrico no ponto A, em volts, considerando que as baterias têm

resistências internas desprezíveis e que o potencial no ponto B é igual a 15 volts.

08-(UFPEL-RS) Num circuito de corrente contínua, ao percorrermos uma malha fechada, partindo de um determinado ponto, observamos que as variações de potencial elétrico sofridas pelos portadores de carga é tal que, ao retornarmos ao ponto de partida, obtemos o mesmo valor para o potencial elétrico.

Baseado no texto e em seus conhecimentos, o fato descrito acima é uma consequência do princípio da conservação

a) da carga.            

b) da energia.         

c) da massa.         

d) da quantidade de movimento.         

e) da potência elétrica.

09- (MACKENZIE-SP) Duas baterias tem a mesma força eletromotriz (E₁=E₂)  e resistências internas respectivamente iguais a r₁ e r₂. Elas são ligadas em série a um resistor externo de resistência R.

O valor de R que tornará nula a diferença de potencial entre os terminais da primeira bateria será igual a:

10- (UFPA) No circuito a seguir, i = 2A, R = 2Ω, E₁ = 10V, r₁ = 0,5Ω, E₂ = 3,0V e r₂ = 1,0Ω. Sabendo que o potencial no ponto A é de 4V, podemos afirmar que os potenciais, em volts, nos pontos B, C e D são, respectivamente:

11-(UFSC-SC) No circuito da figura, determine a intensidade da corrente i₂, que será lida no amperímetro A, supondo-o ideal (isto é, com resistência interna nula).

Dados: E₁=100V, E₂=52V, R₁=4Ω, R₂=10Ω, R₃=2Ω, i₁=10A.

12-(UFPB-PB) Tendo-se no circuito abaixo, R₁=2Ω, R₂=4Ω e R₃=6Ω, i₁=2 A e i₃=1 A, determine:

a) a corrente i₂ que percorre o resistor R₂;

b) a força eletromotriz E₁.

 (UFPA) A figura representa um circuito elétrico e refere-se às questões de números 13, 14 e 15:

Dados: R₁ = 109/11Ω, R₂ = 2Ω,  R₃ = 4Ω,  R₄ = 6Ω, E₁ = 4V, r₁ = 0,5Ω,  E₂ = 2V e r₂ = 0,5Ω

13-(UFPA) A corrente elétrica que passa pelo resistor R₁ vale, em ampères:

14-(UFPA) A diferença de potencial entre os terminais do resistor R₄, em volts, vale:

a) 2.                            

b) 1.                                

c) 1/6.                                

d) 2/9.                                 

e) 2/11.

15-(UFPA) A potência dissipada pelo resistor R₂, em watts, vale:

16- (UFC-CE) Considere o circuito da figura a seguir.

a) Utilize as leis de Kirchhoff para encontrar as correntes I₁, I₂ e I₃

b) Encontre a diferença de potencial V_A – V_B .

17-(UFMG-MG) No circuito esquematizado a seguir, o amperímetro ideal indica uma corrente de intensidade 2,0A. O valor da resistência R da lâmpada, em ohms, é igual a:

18-(UEL-PR)  Dados cinco resistores ôhmicos, sendo quatro resistores R₁ = 3 Ω e um resistor R₂ = 6 Ω e três baterias ideais, sendo E₁= 6,0V e E₂=E₃=12,0V.

Considerando que esses elementos fossem arranjados conforme o circuito da figura, assinale a alternativa que indica o valor correto para a diferença de potencial entre os pontos a e b [Uab ou ( Va – Vb )]:

a) – 3,0V                   

b) 3,0V                      

c) 10 ,0 V                    

d) 6,0V                    

e) – 10,0V

19-(UFLA-MG) No circuito apresentado na figura a seguir, estão representadas diversas fontes de força eletromotriz de resistência

interna desprezível que alimentam os resistores R =1,75Ω e R₂=1,25Ω. A corrente i no circuito é de:

a) 6,0 A                          

b) 5,0 A                            

c) 4,5 A                            

d) 2,0 A                               

e) 3,0 A

20-(ULFA) O circuito mostrado abaixo pode ser alimentado por dois geradores G₁ e G₂ com forca eletromotriz E₁=E₂=48V e resistência elétrica interna desprezível.

 O gerador G₁ pode ser acoplado ao circuito por uma chave CH, que inicialmente esta aberta. Resolva os itens a seguir:

a) Considerando a chave CH aberta, calcule a corrente elétrica fornecida pelo gerador G₂.

b) Considerando, ainda, a chave CH aberta, calcule a DDP entre os pontos D e B.

c) Considerando, agora, a chave CH fechada, calcule a corrente que passa no resistor entre os pontos D e C.

21-(UEM-PR) Relativamente ao circuito elétrico representado na figura a seguir, assuma que R₁=10,0 Ω, R₂=15,0Ω, R₃=5,0 Ω, E₁= 240,0 mV e E₂=100,0 mV. Assinale o que for correto.

01) No nó b, i₂ = i₁ – i₃.

02) A corrente elétrica i₂ que atravessa o resistor R₂ é menor do que a corrente i₃ que atravessa o resistor R₃.

04) O valor da potência elétrica fornecida ao circuito pelo dispositivo de força-eletromotriz E₁é 2,88 mW.

08) Aplicando a Lei das Malhas (de Kirchhoff) à malha externa 'abcda' do circuito, obtém-se a equação E₁ + E₂ = R₁i₁ + R₃i₃.

16) A diferença de potencial elétrico Vb - Vd entre os pontos b e d do circuito vale 150,0 mV.

32) A potência dissipada no resistor R₂ vale 1,50 mW.

64) O valor da potência elétrica dissipada pelo dispositivo de força-contra-eletromotriz E₂ é 0,40 mW.

22-(ITA-SP) No circuito da figura têm-se as resistências R, R₁ e R₂, e as fontes V₁ e V₂, aterradas. A corrente i é:

23-(ITA-SP) Um técnico em eletrônica deseja medir a corrente que passa pelo resistor de 12Ω no circuito da figura. Para tanto, ele dispõe apenas de um galvanômetro e uma caixa de resistores. O galvanômetro possui resistência interna R_G=5kΩ e suporta, no máximo, uma corrente de 0,1mA.

Determine o valor máximo do resistor R a ser colocado em paralelo com o galvanômetro para que o técnico consiga medir a corrente.

24- (UEM-PR) 

 Analise o circuito elétrico representado na figura abaixo e assinale o que for correto.

01. A corrente i é 3 A.

02. A resistência interna r é 5 Ω.

04. A força eletromotriz e é 16 V.

08. A diferença de potencial entre os pontos a e b é 10 V.

16. O circuito elétrico englobado pelo retângulo central em destaque, na figura acima, pode representar uma bateria sendo carregada.

25-(UPE-PE)

Um circuito com duas malhas contém duas fontes de tensão constante E₁ = E₂ = 14 V e três resistores R₁ = 1,0 ohm, R₂ = 3,0 ohms e R = 1,0 ohm, conforme mostrado na figura a seguir:

Analise as seguintes proposições:

I. A corrente que passa pelo resistor R₁ vale 6 A.

II. O sentido da corrente que passa pelo resistor R₂ é da esquerda para a direita.

III. A potência dissipada no resistor R₂ vale 12 W.

IV. O sentido da corrente que passa pelo resistor R é de cima para baixo.

Estão CORRETAS

A) I, II, III e IV.            

B) II, III e IV.                  

C) I, II e III.                    

D) II e IV.               

E) I, III e IV.

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Circuitos Compostos

01- a) potência em R  ---  P=i.U  ---  é diretamente proporcional a i e a U  ---  Falsa

b) em B, a soma das correntes que chegam é igual à soma das correntes que saem (1^a lei de Kirchhoff, lei dos nós) está relacionada às correntes que por sua vez estão relacionadas com as cargas (i=Q/t)  ---  Correta

c) a conservação de energia ocorre quando você parte de um ponto e retorna ao mesmo ponto, numa malha, o que não é o caso  ---  Falsa

d) V_A=V_B ≠ V_C  ---  Falsa

R- B

02- U_AB=20V  ---  U_AB=+12 +4,5i -2 + 0,5i  ---  20 – 10=5i  ---  i=2,0 A  ---  R- B

03- a) i_P=i_Q + i_S  ---  1=0,5 = i_S  ---  i_S=0,5A  ---  R_S=U_AC/i_S  ---  20=U_AC/0,5  ---  U_AC=10V

b) R_Q=U_AB/i_Q  ---  20=U_AB/0,5  ---  U_AB=10V  ---  U_AC=V_A – V_C­  ---  10=V_A – V_C  ---  V_C=V_A – 10   ---  U_AB=10V  ---  10=V_A – V_B  ---  V_B=V_A – 10   ---  U_BC=V_B – V_C=(V_A – 10) – (V_A – 10)= V_A – 10 –V_A + 10  ---  U_BC=0V

04- Com a chave K aberta , o gerador de 20V fica em circuito aberto entre A e B e U_AB=V_A – V_B=20V  ---  R- B

05- Colocando a corrente i no sentido horário e percorrendo, a partir de A também no sentido horário  ---  3i +20 -15 +2i=0  ---

 i=-1 A  ---  a corrente tem intensidade de 1 A no sentido anti-horário  ---  U_AB=V_A – V_B=+2i +15=2.1 + 15  ---  V_A – V_B=17V  ---  R- D

06- Colocando a corrente i circulando no sentido horário e percorrendo a malha, a partir de A, também no sentido horário 

a) +3 +20i + 10i -1,5=0  ---  i=-0,05 A  --- a intensidade de corrente é 0,05 A e seu sentido correto é anti-horário 

b) cálculo da ddp entre A e B, com o sentido correto da corrente sendo anti-horário, percorrendo a malha no sentido horário a partir de A, para a direita  ---  U_AB=V_A – V_B= +3 -20i=+3 -20.(0,05)  ---  U_AB=+2V  ---   U_AB=+2,0V  ---  U_AB>0  ---  V_A - V_B>0  --- V_A>V_B  ---  o ponto A tem maior potencial

c) a corrente correta está no sentido anti-horário  ---  no receptor a corrente i são pelo pólo negativo  ---  é a pilha de 1,5V que funciona como receptor

07- 4i -6 +2i +12=0  ---  6i=-6  ---  i=1 A no sentido anti-horário  ---  V_A – V_B=V_A-15=-12 +2i  --- V_A=15 – 12 +2  ---  V_A=5V

08- A energia W é fornecida pela expressão W=q.V  ---  R- B

09- +E - r_!i + E - r₂i - Ri=0  --- i=2E/(r₁ + r₂ + R)   ---  a diferença de potencial U entre os terminais da primeira bateria é nula (U=0)  ---  equação do gerador  ---  U= e – r₁i  ---  0=E – r₁.2E/r₁ + r₂ + R  ---  E=2Er₁/r₁ + r₂ + R  ---  1= 2r₁/r₁ + r₂ + R  ---  r₁ + r₂ + R=2r₁  ---  R=r₁ – r₂  ---  R- D

10- Partindo de B e percorrendo a malha no sentido horário  ---  -E₁ + r₁.i + E₂ + r₂.i + R.i=0  ---  -10 + 0,5.2 + 3 +1.2 + R.2=0  --- 

2R=4  ---  R=2Ω  ---  U_AB=V_A – V_B=R.i  ---  4 – V_B=2.2  ---  V_B=0  ---  U_BC=V_B – V_C  ---  V_B– V_C= -E₁ + r₁.i  ---  0 – V_C=-10 + 0,5.2  ---  V_C=9V  ---  U_CD=V_C – V_D  ---  V_C – V_D=E₂ + r₂.i  ---  9 – V_D=3 + 1.2  ---  V_D=4V  ---  R- A

11- Observe o esquema abaixo:

Malha I  ---  partindo de P e percorrendo no sentido horário  ---  +R₂.i₂ + R₁.i₁ – E₁=0  ---  10.i₂ + 4.10 – 100=0  ---  i₂=6A

12- a) Pela lei dos nós  ---  i₁=i₂ + i₃  ---  2=i₂ + 1  ---  i₂=1 A

b) Percorrendo a malha I no sentido horário, a partir de P, retornando a P e igualando a zero (2^a lei de Kirchhoff)  --- 

R₃.i₃ –E₁ + R₁.i₁=0  ---  6.1 – E₁ + 2.2=0  ---  E₁=10V

13- Transformando num circuito de malha única  --- R’=2 Ω paralelo com 4 Ω, paralelo com 6 Ω=12/11 Ω  ---  R_eq=12/11 + 109/11  --

-  R_eq=11 Ω  --- percorrendo a malha única no sentido horário, com a corrente também no sentido horário  ---  +4 + r₁.i + r₂.i – E₂ +

+ 11.i = 0  --- +4 + 0,5i + 0,5i – 2 + 11i=0  ---  12i=-2  ---  i=-1/6 A  ---  a intensidade da corrente em R₁ é de 1/6 A e o sentido correto é o anti-horário  ---  R- C

14- A ddp em R₄ é a mesma que a em R’=12/11Ω  ---  U=R’.i=12/11.1/6  ---  U=2/11V

15- P_R2=U_R2²/R₂=(2/11)²/2  ---  P_R2=2/121W  ---  R- C

16- a) Partindo de A e percorrendo a 1^a malha no sentido horário  ---  +6 - 4I₂ + 2I₁ -6 = 0  ---  2I₁ – 4I₂=0  ---  I₁=2I₂  ---  Partindo de A e percorrendo a 2^a malha no sentido horário  ---  + 17 + 6I₃ + 4I₂ -6 = 0  ---  6I₃ + 4I₂= -11  ---  I₃=I₁ + I₂  ---  I₃=2I₂ + I₂  --- 

I₃=3I₂  ---  6I₃ + 4I₂= -11  --- 6.(3I₂) + 4I₂= -11  ---  22I₂=-11  ---  I₂= -0,5 A (sentido correto, de A para B)  ---  I₁=2I₂=2.(-0,5)

I₁=-1 A (sentido correto, de A para B)  ---  I₃=3I₂=3.(-0,5)=-1,5  ---  I₃=-1,5 A (sentido correto, de B para A).

R- I₁=1 A, I₂=0,5 A e I₃=1,5 A

b) V_A – V_B= +6 + 4.0,5  ---  V_A – V_B=6 + 2  ---  V_A – V_B= 8V

17- Colocando as correntes  ---  percorrendo a malha I no sentido horário a partir de P, retornar a P e igualar a zero  ---  9i + 2i -48

+1.i + 12 + 10i’=0  ---  9.2 + 2.2 – 48 +1.2 + 12 + 10i’=0  ---  18 + 4 -48 +2 + 12  + 10i’=0  ---  10i’=12  ---  i’=1,2 A  ---  i=i’ + i’’  --- 

2=1,2 + i’’  ---  i’’=0,8 A  --- percorrendo a malha II no sentido horário a partir de P, retornar a P e igualar a zero  ---  10i’ + Ri’’=0  ---  10.1,2 + R.0,8=0  ---  R=12/0,8  --- R=15Ω  ---  R- D

18- Percorrendo a malha I no sentido horário a partir de a, retornando a a e igualando a zero  ---  6i’ + 12 + 3i -6 + 3i=0  --- 

i’ + i = -1 (1)  ---  Percorrendo a malha II no sentido horário a partir de a, retornando a a e igualando a zero  ---  3i’’ + 12 +3i’’ -12 -6i’=0  ---  6i’’ – 6i’=0  ---  i’’=i’  ---  i=i’ + i’’  ---  i=i’ + i’  ---  i=2i’  ---  substituindo i=2i’ em (1)   ---  i’ + 2i’= -1  ---  3i’=-1  ---  i’= -1/3 A ( sentido correto é de b para a)  ---  U_ab=V_a – V_b=-6i’ + 12=-6(1/3) +12  ---  U_ab=10V  --- R- C

19- Os dois geradores de 3V estão em paralelo e se comportam como um único de fem 3V  ---  partindo do ponto M, percorrendo

o circuito no sentido horário, retornando a M e igualando a zero  --- 1,75i – 9 + 3 + 1,5 + 1,25i – 1,5 =0  ---  3i=6  ---  i=2 A  --- 

R- D

20- a) com a chave CH aberta o gerador G₁ não participa do circuito  ---  observe a seqüência abaixo  --- 

R_eq=U/i  ---  16=48/i  ---  i=3 A

b) Observe as correntes na seqüência abaixo

U_DB=R_DB/i_DB=6.1  ---  U_DB=6V   

21- 01-lei dos nós  ---  o total de correntes que chegam num ponto é igual ao total de correntes que saem do mesmo ponto  ---  nó b  --- 

i₁=i₂ + i₃  ---  i₂=i₁ – i_3­  ---  correta

02- Percorrendo malha I no sentido horário, a partir de a ---  R₁i₁ + R₂i₂=E₁  ---  10i₁ + 15i₂=0,24 (1)  ---  Percorrendo malha II no sentido horário, a partir de a  ---  R₃i₃+ E₂ – R₂i₂=0  ---   R₃i₃+ E₂= R₂i₂  ---  5i₃+ 0,1=15i₂ (2)  ---  i₁=i₂ + i₃ (3)  --- resolvendo o sistema composto por (1), (2) e (3)  ---  i₁=0,012 A, i₂=0,008 A e i₃=0,004 A   ---  falsa

04- P_E1=i₁.E₁=0,012.0,24=0,00288  ---  P_E1=2,88mV  ---  correta

08- a partir de a, no sentido horário  ---  R₁i₁ + R₃i₃ + E₂ – E₁=0  ---  E­₁ – E₂=R₁i₁ + R₃i₃  ---  falsa

16- V_b –V_d=R₂i₂=15.0,008=0,12V  ---  falsa

32- P=Ri²=15.(0,008)²=0,00096W  ---  falsa

64-P₂=E₂.i₃=0,1.0,004=0.0004=0,4mW  ---  correta

Soma (01 + 04 + 64)=69

22- Todas as partes aterradas (ligadas ao solo) possuem o mesmo potencial (pontos S)  --- colocando as correntes i₁ e i₂  --- 

i=i₁ + i₂ (1)  ---  percorrendo no sentido horário a malha I, a partir de P, retornando a P e igualando a zero  ---  Ri – V₁ + R₁i₁=0  --- 

V₁=R₁i₁ + Ri (2)  --- percorrendo no sentido horário a malha II, a partir de P, retornando a P e igualando a zero  ---  -R₂i₂ + V₂ – Ri=0  ---  V₂=R₂i₂ + Ri (3)  ---  isolando i₁ em (2)  ---  i₁= (V₁ – Ri)/R₁  ---  isolando i₂ em (3)  ---  i₂=(V₂ – Ri)/R₂  ---  em (1)  --- 

i= i₁ + i₂  ---  i= i₁= (V₁ – Ri)/R₁ + (V₂ – Ri)/R₂  ---   i=(V₁R₂ + V₂R₁)/(R₁R₂ + RR₂ + RR₁)  ---  R- D

23- Pela lei dos nós  ---  i’’=i + i’  (1) ---  percorrendo a malha I no sentido horário, a partir de P, retornando a P e igualando a zero  --- 

-2i’ + 12 -24 + 4i=0  ---  2i – i’=6 (2)  --- percorrendo a malha II no sentido horário, a partir de P, retornando a P e igualando a zero  ---  12i’’ – 12 + 2i’=0  ---  i + 6i’’=6 (3)  ---  resolvendo o sistema composto por (1), (2) e (3)  ---  i’’=1,2 A  ---  colocando

nesse trecho de circuito o galvanômetro de resistência R_G=5.10³Ω, percorrido por i_G=0,1mA=10^-4 A, com a resistência R associada em paralelo e supondo que i’’ não se altere  --- i’’=i_G + I  ---  1,2=10^-4 + I  ---  I=1,1999 A  ---  U_G=U_R  ---  R_G.i_G=R.I  ---  R.1,1999=5.10³.10^-4  --- R=0,42Ω

24- Ddp nos terminais do resistor de 9Ω  ---  R=U/i  ---  9=U/2  ---  U=18V  ---  como todos estão em paralelo  ---  U_ab=18V e U nos terminais do gerador de 24V também é U=18V  ---  como a corrente se desloca de pontos de maior para menor potencial e V_b>V_a, entre a e b ela se desloca para a esquerda  ---  em b (correntes que chegam=correntes que saem)  ---  i=1 + 2  ---  i= 3A  ---  no gerador de 24V  ---  U=E – r.i  ---  18=24 – r.3  ---  r=6/3  ---  r=2Ω  ---  entre a e b  ---  receptor  --- 

U=E’ + r’.i  ---  18=E + 2.1  ---  E’=16V  ---  este receptor pode ser uma bateria  sendo carregada (veja o sentido da corrente em seu interior)  ---   R- (01 + 04 + 16)=21

25- O processo de resolução está explicado em fisicaevestibular.com.br (eletricidade-eletrodinâmica-circuitos compostos)

(I) partindo de P e percorrendo a malha no sentido horário  ---  1.i₁ – 14 + 1i=0  ---  i₁ + i = 14 (a)  ---  (II) partindo de P e percorrendo a malha no sentido horário  ---  3i₂ + 14 – i₁=0  ---  3i₂ – i₁ = -14 (b)  ---  i=i₁ + i₂ (c)  ---  resolvendo o sistema formado por (a), (b) e (c)  ---  i₂=-2 A (sentido correto-anti-horário)  ---  i₁=8 A sentido correto-horário)  --- 

i=6 A (sentido correto-horário)  ---  P_R2=R₂.i₂²=3.4=12W  ---  R- E.