Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre Movimento Circular Uniforme (MCU)

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Movimento Circular Uniforme (MCU)

 

01- O tempo em que a Lua demora para dar uma volta completa ao redor da Terra (período de translação da Lua em torno da Terra), é o mesmo que ela demora para sofrer rotação em torno de si mesma (período de rotação da Lua)  —

R- C.

02- 

Observe que cada ponto da periferia das rodas da frente e de trás, possuem a mesma velocidade que a do trator, ou seja, V_f=V_t=V. Mas, possuem velocidades angulares diferentes, pois W=V/R e assim, como V é constante, W é inversamente proporcional a R, e como o raio da roda da frente é menor, ela gira mais que a maior tendo maior velocidade angular que a maior  —  W_f > W_t   —  R- D.

03- As velocidades escalares das periferias das rodas das bicicletas da mãe e do filho são as mesmas  —  V_m=V_f  —  f_mR_m=f_fR_f   —  R_m=2R_f  —  f_m.2R_f=f_fR_f  —  f_m=f_f/2  —  R- A.

04- a) A marca surge nítida após 30 voltas ou 60 voltas ou 90 voltas, ou seja, 30.n voltas, com n natural não nulo, ou seja, quando a frequência de rotação das rodas e à de gravação dos quadros forem múltiplos de 30..

b) Ocorre no instante em que a primeira frequência é de 30Hz  —  menor W  —  menor f  —  f=30Hz  —  W=2π/T  —  W=2πf=2.3.30  —  W=180 rad/s.

c) W=V/R  —  180=V/0,3  —  V=54m/s.

05- Veja na expressão W=V/R, que W é constante, independente do diâmetro da roda, pois o eixo do carro gira com a mesma velocidade angular e, assim, V é diretamente proporcional a R  —  como o diâmetro e consequentemente o raio teve um aumento de 10%, a velocidade também deverá ter o mesmo aumento, passando de 100km/h para 110km/h  —  R- C.

06- a) Volume total de água recebida pelas 16 cubas em uma volta completa  —  16 cubas x 5L=80L  —  como a vazão é de 160L/min, em 1 min a roda efetua 2 voltas  —  f=2 rpm/60  —  f=1/30 Hz  —  T=1/f  —  T=30s.

b) regra de três  —  160 L – 1 min  —  V L  – 60min  —  V=9.600L.

07- Velocidade de qualquer ponto da linha do equador (inclusive Macapá), após uma volta completa da Terra (T=24h)  —  V=ΔS/T=40.000/24  —  V=10.000/6km/h  —  com essa velocidade, no tempo que a estação demora para efetuar uma volta completa (Δt=90min=1,5h), Macapá  percorreu uma distância de V= ΔS/Δt  —  10.000/6= ΔS/1,5  —  ΔS=2.500km  —  R- D.

08- Num relógio sem defeitos o ponteiro dos minutos ao efetuar um volta completa (60min) efetua um ângulo de 2π rad  —  no relógio defeituoso, ao efetuar uma volta completa (50min) ele efetuará um ângulo θ rad  —  regra de três  —  60min – 2π rad  —  50min – θ rad  —  θ=100π/60  —  θ=5π/3 rad  —  o relógio sem defeitos medirá esse ângulo em 1 hora=3600s com velocidade angular  —W=Δθ/Δt=(5π/3)/3600  —  W=π/2160  —  R- A.

09- Raio de órbita do satélite  —  R=6.400 + 5.298  —  R=11698km  —  comprimento da órbita  —  ΔS=2πR=2.3.11698  —  ΔS=70188km  —  velocidade escalar do satélite  —  V=5.849m/s  —  V= ΔS/Δt  —  5.849=70.188/Δt  —  Δt=12.000s/3.600  —  Δt=3,33h (tempo que ele demora para efetuar uma volta completa)  —  e um dia ele efetua 24/3,33=7,2 voltas completas  —  como em cada volta completa ele passa duas vezes pela linha do equador, ele efetuará 2.7,2=14,4 passagens  —  14 passagens completas.

10- a) Para atravessar o cilindro a bala percorreu d=3m com velocidade de V=600m/s  —  V=d/t  —  600=3/t  —  t=0,005s.

b) Observe a figura abaixo

Em t=0,005s o cilindro girou de 9^o  —  regra de três  —  π rad – 180^o  —  θ rad  —  9^o  —  θ=9π/180  —  θ= π/20 rad  —  W=θ/t=(π/20)/0,005  —  W=10π rad/s  —  W=2π/T  —  10π=2π/T  —  T=1/5s  —  f=1/T  —  f=5 Hz.

11- Observe a figura abaixo onde você está vendo a situação de cima:

senβ=(R/2)/R  —  senβ=1/2  —  β=30^o  —  observe que para ir de P para Q ele “varreu” um ângulo α=120^o =2π/3 —  α=2π/3 rad  —  W=α/t  —  2π=(2π/3)/t  —  t=1/3s  —  observe que a distância horizontal PQ vale  —  PQ=Rcos30^o + Rcos30^o=2R√3/2=2.0,5.√3/2  —  PQ=√3/2m  —  V_o=ΔS/Δt=PQ/t=(√3/2)/(1/3)  —  V_o=√3/2 x 3/1  — V_o=3√3/2m/s ou V_o≈2,6m/s.

12- Em um corpo em rotação todos os pontos, (independente da localização) apresentam mesmo

período (T), mesma freqüência (f) e mesma velocidade angular (ω), que são os mesmos que da Terra  —  logo, T_Macapá  = T_{São Paulo} = T_Salekhard  —   f _Macapá  = f_{São Paulo} = f_alekhard  —  W_Macapá  =W_{São Paulo}=W _alekhard  —   a velocidade escalar de um ponto é dado pela expressão v = ω ⋅ r  —  assim, sendo a velocidade angular será a mesma para todos os pontos, a velocidade escalar (intensidade da tangencial) será maior quanto maior for o raio (r) em relação ao eixo de rotação  —  portanto,

V _Macapá  > V_{São Paulo} > V_alekhard  —  R- A.

13- Como as rodas giram acopladas, cada ponto da periferia de cada uma delas possui a mesma velocidade linear (escalar) V_A=V_B=V_C  —  para cada roda o número de dentes é diretamente proporcional ao comprimento de cada circunferência (S), que por sua vez é diretamente proporcional a cada raio R (S=2πR)  —  R_A/32=R_B/64=R_C/92  —  R_A=R_B/2=R_C/3  —  R_A=R_C/3=12/3  —  R_A=4 cm  —  R_B=8cm e R_C=12cm  —  W_C=V_C/R_C  —  6=V_C/12  —  V_C=72 cm/s=V_A=V_B  —  W_A=V_A/R_A  —  W_A=72/4  —  W_A=18 rad/s  —  R- C.

14- A luz estroboscópica tem freqüência de 5Hz, ou seja, ilumina o pneu a cada T=1/f=1/5=0,2s  —  assim, se a roda girasse ele com freqüência de 5Hz, ele veria a mancha branca sempre na mesma posição (a mancha daria uma volta completa a cada 0,2s)  —  mas como ele vê a mancha como se o carro se movesse para trás, a mancha deve demorar menos que 0,2s para dar uma volta completa, assim  —  T < 0,2s  —  1/f < 0,2  1/f <1/5  —  f < 5Hz  —  R- B.  

15- Observe que entre o primeiro e o segundo pentagrama a pá de cor diferente girou 3π/2 rad no sentido horário e, isso ocorre, segundo o enunciado em t=1/24s  —  para efetuar uma volta completa, a pá de cor diferente, num período T deve girar 2π rad  —  regra de três  —  3π/2 rad – t=1/24 s  —  2π rad – T s  —  3πT/2=2π/24  —  T=4/72  —  T=1/18s ( tempo que cada pá demora para efetuar uma volta completa)—  f=1/T  —  f=18Hz (para que ocorra o que estão mostrando as figuras, as pás devem efetuar 18 rotações por segundo  —  R- B.

16- Parando o corredor B, o A estará se afastando dele com velocidade relativa de V_R=8 – 6=2m/s e para ficar com uma volta de vantagem sobre ele deverá atingir  a distância correspondente a uma volta completa d=2πR=2.3.12,0=72,0m  —  V_R=d/t  —  2=72,0/t  —  t=36s  — R- E.

17– A primeira partícula efetua 1/3 rpm o que corresponde  a   —   f₁=1/3 rpmx60min=20 voltas por hora, enquanto que a segunda faz  —  f₂=1/4 rpmx60min=15 voltas por hora  —  como elas se movem em sentidos contrários, se encontrarão (20 + 15)=35 vezes em uma hora.

18- O período de rotação da manivela (uma volta a cada meio minuto) é T= 30s e a sua frequência de rotação vale f=1/30Hz  — essa freqüência da manivela é a mesma que a da engrenagem menor  —  essas engrenagens estão em contato e o raio da engrenagem é proporcional (constante K) ao número de dentes  —  f₁.r₁=f₂.r₂  — 1/30.10K=f₂.24K  —  f₂=1/72 Hz  —  a velocidade escalar da vara de cana é a mesma que a da periferia da roda 2, que é a mesma que de cada cilindro de raio 4cm  —  V=2π.f.r₂=2.3.1/72.4  —  V=1/3cm/s=0,33cm/s  —  R- B.  

19- Observe na figura abaixo que a segunda e última foto são idênticas (repetidas), e que entre elas o cavalo percorreu 

15m — ΔS=15m   —  o período (T) do movimento é o tempo decorrido entre duas repetições  —  freqüência  —  f=0,5Hz  — T=1/f  —  T=1/0,5  —  T=2s  —  V=ΔS/Δt= ΔS/T=15/2  —  V=7,5m/s  —  R- B.

20- A figura abaixo representa as trajetórias das duas rodas da bicicleta após ela percorrer uma volta completa  —  o triângulo PQR é retângulo, e os segmentos RQ e RP são os raios dos círculos descritos, respectivamente, pela roda traseira e pela roda dianteira  —  como se pode observar na figura, o ângulo QPR mede 30^o  —  portanto  —  RP=2RQ  — a distância percorrida pela roda traseira em uma volta da bicicleta é igual a  —  2π(RQ)  —  o número de voltas dadas por essa roda em torno de seu eixo para percorrer essa distância é igual a  —  N₁=2π(RQ)/ 2πR_t  —  N₁=RQ/R_t  —  onde R_t é o raio da roda traseira  —   a distância percorrida pela roda dianteira é igual a  —  2π(RP)  —  o número de voltas dadas por essa roda em torno de seu eixo para percorrer essa distância é igual vale  —  N₂=2π√(RQ)/ 2πR_d  —  R_d  —  raio da roda dianteira  —  R_d=2R_t  —  RP=2RQ  —  N₁/N₂=(RQ/R_t)/(RP/R_d)=RQ/R_t x R_d/RP= RQ/R_t x R_d/RP=(RQx2R_t)/R_tx2RQ  —  N₁/N₂=1  —  R- A.  

21- A distância d deve ser igual ao comprimento de cada circunferência das rodas vezes um número inteiro de voltas, para que os pontos A e B estejam simultaneamente  em contato com o solo  —  assim, supondo que a distância d será atingida após a roda menor dar um número x de voltas e a roda maior um número y de voltas, tem-se  —  d = x . 2 . π . 27 e d = y . 2 . π . 33  —  igualando  —  x . 2 . π . 27 = y . 2 . π . 33  —  9 . x = 11 . y  —  como x e y devem ser números inteiros e 11 é um número primo, então x = 11 e y = 9  —  assim, d = 11 . 2 . π . 27 = 594 π cm,    ou    d = 9 . 2 . π . 33 = 594 π cm  —  como a resposta está em metros  —  d = 5,94 π m  —  R- C.

22- Velocidade angular do ponteiro das horas que efetua uma volta completa, varrendo um ângulo ∆θ=2π rad em ∆t=12h  —  W_h=∆θ/∆t=2π/12  —  W_h=π/6 rad/h  —  velocidade angular do ponteiro dos minutos que efetua uma volta completa, varrendo um ângulo ∆θ=2π rad em ∆t=1h  —  W_m=∆θ/∆t=2π/1  —  W_h=2π/1 rad/h  —  colocando a origem dos ângulos no 12h, a equação angular do ponteiro dos minutos será φ_m= φ_o + W_m.t=0 + 2π.t  —  φ_m= 2π.t  —  equação angular do ponteiro

das horas com a origem em 12h  —  φ_h= φ_o + W_h.t= π/2 + π/6.t  —  φ_h= π/2 + π/6.t  —  quando os ponteiros se encontram φ_m = φ_h  —  2π.t = π/2 + π/6.t  —  12πt – πt=3π  —  t=3/11 h (tempo do encontro)  —  t=3/11×60=180/11 min  —  R- C.

Obs: Este raciocínio é mais interessante e mais inteligente: até o ponteiro dos minutos encontrar o ponteiro das horas o ponteiro dos minutos terá varrido um ângulo θ (veja figura) tal que θ = π/2 + x  —  x é o ângulo varrido pelo ponteiro das horas e que vale x= θ/12  —  x é obtido através de uma regra de três  —  enquanto o ponteiro dos minutos varre 2π rad (360^o), o das horas varrerá π/6 (30^o)  —  quando o dos minutos varrer θ, o das horas varrerá x tal que  —360.x=30.θ ou 2π.x=π/6.θ  —  x= θ/12  —  assim, θ = π/2 + θ/12  —  12θ – θ = 6π  —  θ=6π/11 rad (ângulo varrido pelo ponteiro dos minutos até o encontro)  —  passando este ângulo para horas por uma regra de três  —  2π rad – 1h  —  6π/11 – t h  —  t=(6π/11)/2π  —  t=3/11 h x 60 — t=180/11 min  —  R- C. 

23- 

Observe que, enquanto o ponteiro dos minutos efetuou uma volta completa varrendo 2π rad, o das horas varreu x tal que, até o encontro novamente, você terá que  —  θ = 2π + x, sendo que x=θ/12 (veja exercício anterior)  —  θ = 2π + θ/12  —  θ – θ/12= 2π  —  11θ=24π  —  θ=24π/11  —  R- C.

24- 

Cálculo do período T (tempo que ela de mora para efetuar uma volta completa) da formiga  —  W=2π/T  —  2π/60 = 2π/T  —  T=60s  —  a formiga demora 60s para efetuar uma volta completa no sentido anti-horário e o ponteiro dos

segundos demora 60s para efetuar uma volta completa no sentido horário  —  assim, eles se cruzarão duas vezes  —  R- C.

25- Supondo que na situação inicial os dois carros estejam lado a lado  —  se você parar um deles o outro se afastará dele com velocidade relativa V_R=3v – v=2v  —  nesse caso, para que se encontrem pela primeira vez o mais  rápido deve efetuar uma volta completa com velocidade relativa VR=2v e percorrer ∆S=2πR, num tempo ∆t  —  V_R=∆S/∆t  —

2v=2πR/∆t  —  ∆t=πR/v  —  R- C.

26- a) R_Beto=30cm=0,3m  —  f_Beto=3Hz  —  f_pedro=2Hz  —  como eles se mantém lado a lado cada ponto da periferia de cada monociclo possuem a mesma velocidade linear (escalar, tangencial) V  —  V_Beto = V_Pedro  —  2πf_Beto.R_Beto = 2πf_pedro.R_pedro  — R_Beto.f_Beto = f_pedro.R_pedro  —  30.0,3 = R_Beto.2  —  R_pedro = 0,45 m=45 cm.

b)

Velocidade num determinado instante do ponto de contato da roda com a pista e de um ponto diametralmente oposto  —  o ponto A , no contato roda/pista, tem velocidade instantânea nula, pois como não existe deslizamento, nesse instante, V_A = 0  —  o centro da roda tem velocidade escalar V e o ponto diametralmente oposto a A (ponto B), tem velocidade escalar 2V.

27- R = D/2 = 0,5/2 = 0,25 m  —  f = 840rpm=840/60 = 14 Hz  —  a velocidade escalar (linear) de um ponto da periferia do pneu é a mesma que é indicada pelo velocímetro do carro e vale  —  V = 2πfR = 2.3.0,25.14 =21m/sx3,6=75,6km/h 

R- E.

 

28- 01. Correta — pelo enunciado, o número de voltas da catraca é proporcional ao número de voltas da coroa, com razão de proporção igual à razão entre os raios da coroa (R) e da catraca (r) — f_catraca/f_coroa = R/r — pelo enunciado f_coroa=1 —f_catraca/1 = R/r — f_catraca=R/r.

02. Correta — f_catraca/f_coroa = R/r — observe em R/r que, como r é constante, se você diminuir R , o quociente R/r=k irá diminuir — então f_catraca/f_coroa=R/r — f_catraca =/f_coroa.R/r observe que r é inversamente proporcional à f_catraca — se r diminui, f_catraca aumenta fazendo com que a roda gire mais, percorrendo uma distância maior.

O4. Falsa — a de menor raio “varre” maior ângulo no mesmo tempo, tendo, portanto maior velocidade angular.

08. Falsa — coroa — R=15cm — catraca — r=15/4=3,75cm — roda — R_r=5.r=5.3,75 —

R_r=18,75cm — f_coroa.R = f_catraca.r — 1.15 = f_catraca.3,75 — f_catraca=4 voltas — enquanto a coroa efetua 1 volta completa, a catraca e a roda efetua efetuam 4 voltas completas — deslocamento da roda após as 4 voltas —S=2πR_r=2.3.18,75×4=450cm=4,5m.

16. Correta — roda — R_r=50cm — R=2r — f_coroa.R = f_catraca.r — 2.2r = f_catraca.r — f_catraca=4 voltas — distância percorrida pela roda após essas 4 voltas — S=4×2πR_r=8π50=400πcm=4πm — velocidade (pedida) da roda e consequentemente da bicicleta em t=1s — V=S/t=4πm/1s —

V= 4πm/s.

R- (01, 02, 16)

29- Se você não domina a teoria, ela está a seguir:

Acoplamento de polias e engrenagens

 Pode-se interligar duas ou mais  polias através de uma correia (figura 1) ou acoplar duas ou mais engrenagens (figura 2)

Todos os pontos da correia (admitidos inextensíveis) têm a mesma velocidade escalar V que todos os pontos da periferia de cada polia, desde que não ocorra deslizamento.

O mesmo ocorre com todos os dentes da polia engrenada, que tem a mesma velocidade escalar V.

Assim, V₁=V₂  —  W₁.R₁ = W₂.R₂  —  2π/T₁.R₁= 2π/T₂.R₂  —   2πf₁.R₁ =  2πf₂.R₂  

 Veja na figura ao lado que que, se o raio da engrenagem A é R_A, o da B será R_B=(11 – R_A)

f_A=375 voltas — f_B=1000 voltas

f_A.R_A=f_B.R_B — 375.R_A = 1000.(11 – R_A) — 375R_A=11000 – 1000R_A — 1375R_A=11000 — R_A=11000/1375 — R_A=8cm — é pedido o raio da menor que é a B — R_B=11 – 8 — R_B=3cm

R- B

 

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