Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre Ondas Estacionárias

Resolução comentada dos exercícios de vestibulares sobre

Ondas Estacionárias

 

01- 4λ/2=1  —  λ=1/2m  —  V=λf  —  V=1/2.1000  —  V=500m/s.

02- Formam-se ondas estacionárias com os pedacinhos de papel jogados pelos ventres formados

nos pontos D, F e H. figura acima

03- 4λ/2=60  —  λ=30cm  —  V=λf  —  V=30.60  — V=1800cm/s=18m/s

04-

(01) Errada. O movimento de cada ponto da onda estacionária é somente na vertical e verifique na figura abaixo que os pontos A, A₁ e A₂  tem amplitudes diferentes no seu “sobe e desce” completo.

(02) Correta. Esta freqüência de 450Hz é a freqüência das ondas que se superpõe e é a mesma para todos os pontos da corda.

(04) Errada. 3λ/2=45  —  λ=30cm

(08) Correta. V=λf  —  V=30.450=13.500cm/s=135m/s.

(16) Correta.  V=  —  135=√(F/6,2.10^-3)  —  (135)²=(√(F/6,2.10^-3)²  —  18.225=F/0,0062  —  F= 112,995N

Soma=(02 + 08 +16)=26

05- Na configuração da figura abaixo, onde L é o comprimento da corda, a frequência é de 360Hz.

Sendo l₁ o comprimento de onda dessa onda estacionária, temos que 3l₁/2=L  —  l₁=2L/3  — V₁=l_1.f₁  —  V₁=2L/3.360  —  V₁=240L

Como a velocidade V na corda é a mesma (mesmo meio) e V=λf, λ e f são inversamente proporcionais. Assim, sendo L o mesmo, se aumentarmos f, λ irá diminuir e teremos um ventre a mais na corda.

4λ₂/2=L  —  λ₂=L/2  —  V₂=λ₂.f  —  V₁=V₂ (mesmo meio)  —  240L=L/2f₂  — f₂=480Hz

 R- C

06- a) λ/2=12  —  λ=24cm = 0,24m 

b) F=P=mg  —  F=0,18.10  —  F=1,8N  —    m=5.10‑4‑kg/m                 

 V=√(F/μ)  —  V=√(1,8/5.10^-4)  —  V=√(36.10²)  = 60m/sm  —  V=λf  —  60=0,24f  — f=250Hz

 

07- 3λ/2=15  —  λ=10m  —  esse intervalo de tempo 0,50s é metade do período de cada uma das ondas que geraram a onda estacionária  —  T/2=0,50  —  T=1s  —  f=1/T  —  f=1/1  —  f=1Hz  —  V=λf  —  V= 10.1  —  V=10m/s

 

O8- 3λ/2=0,9  —  λ=0,6m

μ=m/L  —  m=0,01kg/m  —  V=√(F/μ)  —  V=√(900/0,01)  —  V=300m/s  —  V=λf  —  300=0,6.f  —  f=500Hz

09- E

10- D

11- D

12- Da equação fundamental da ondulatória  —  rádio da cidade  —  V=λ_c.f_c  —  rádio pirata  —  V=λ_p.f_p  —  como a velocidade de propagação da onda é a mesma, pois se trata do mesmo meio (ar), se as frequências são iguais, os comprimentos onde também o serão  —  R- E

13- Observe a figura abaixo:

Ventres  —  50/0,5=100  —  comprimento de onda  —  λ=1m  —  R- D

 

14- Ondas estacionárias são ondas formadas pela superposição de duas ondas idênticas, de mesma amplitude, mesma freqüência, mesmo comprimento de onda e que se movem na mesma direção e sentidos opostos

* Os pontos A, C, E, G e I são nós ou nodos e não se movem, são fixos.

Todos os pontos que estão entre AC, CE, EG e GI são ventres (fusos) e estão sempre em movimento vibratório.

A distância entre dois nós consecutivos é sempre λ/2.

Observe na figura do exercício que λ/2=6m  —  λ/2=6  —  λ=12m.

15-  O ponto 2 da corda é um nó (ou nodo) da onda estacionária e permanece fixo  —  os pontos 1 e 3 possuem velocidade nula nas extremidades superiores e inferiores e velocidades máximas quando passam pela centro (onde estão esses pontos),  apenas que eles possuem velocidades de sentidos contrários, ou seja, enquanto um está subindo o outro estará descendo  —  R-  D.

Se você quer entender como se originam ondas estacionárias leia atentamente a teoria abaixo:

Obtemos ondas estacionárias pela superposição de duas ondas idênticas, de mesma amplitude, mesma frequência, mesmo comprimento de onda e que se movem na mesma direção e sentidos opostos.

Considere uma corda fixa em uma das extremidades e na outra uma fonte produz ondas periódicas que, ao atingirem a extremidade fixa, sofrem reflexão e retornam. Assim, as ondas incidentes e as refletidas se superpõem, originando as ondas estacionárias.

Para entender como surgem as ondas estacionárias, observe as figuras abaixo, onde, em todas, temos, no mesmo instante, nas duas figuras da esquerda, as ondas se movendo em sentidos contrários e, na figura da direita, a superposição das mesmas, nesse mesmo instante.

O intervalo de tempo entre uma figura e outra é de um quarto de período (T/4), ou seja, entre cada intervalo a onda percorreu um quarto de comprimento de onda.

No instante t=0, as duas ondas estão exatamente superpostas e a onda resultante dessa superposição tem amplitude 2A.(interferência construtiva).

No instante t=T/4, cada uma delas se moveu λ/4 e suas configurações estão nas duas figuras da esquerda. Observe, na figura da direita, que todos os pontos dessas ondas se anulam.(interferência destrutiva)

No instante t=T/2, a onda resultante tem amplitude 2A.

No instante t=3T/2 essas ondas novamente se anulam.

No instante t=T, essas ondas voltaram à situação inicial e a partir daí começa a repetição.

 

 Observe que, em todos os instantes, os pontos P, Q e R, da onda resultante não se moveram. Esses pontos, sempre fixos são chamados de nodos ou nós e estão em interferência destrutiva  —  suas velocidades verticais são nulas.

Observe também que, em todos os instantes, todos os pontos compreendidos entre P e Q e entre Q e R, estão em constante  movimento, subindo e descendo, em interferência construtiva, e sua amplitude será a soma das amplitudes das ondas constituintes. Esses pontos são chamados de ventres..

Observe na figura abaixo, que os pontos A, C, E, G e I são nós e que os pontos B, D, F e H são ventres.

Se o comprimento de onda de cada onda que originou a estacionária é l, a distância entre dois nós consecutivos (fuso) vale l/2.

Entre os nós, os pontos dos ventres vibram na vertical com a mesma freqüência que é a mesma de cada onda que se superpõe, mas com amplitudes diferentes (figura abaixo)

. 

Como a freqüência de cada ponto é a mesma, o período (tempo que cada ponto demora para efetuar um “sobe e desce” completo) também será. Assim, a velocidade vertical do ponto A é maior que a do ponto A₁, que por sua vez, é maior que a do ponto A₂.

Cada uma dessas amplitudes é o dobro das amplitudes das ondas constituintes.

Como os nós estão em repouso, não pode haver passagem de energia por eles, não havendo, então, em uma corda estacionária o transporte de energia.

Assim, ondas estacionárias não são ondas de propagação, mas sim, as diferentes maneiras de vibração de uma corda, membrana, etc.

16-  Equações das ondas estacionárias em uma corda de extremidades fixas  —  f_n=n.V/2.L  —  V=√(T/μ)  —  f – frequência do harmônico (que é sempre a mesma que a da fonte)  —  n – ordem do harmônico  —  V – velocidade de propagação da onda na corda  —  L – comprimento da corda  —  T – força que traciona a corda  —  μ – densidade linear da corda  —  na situação da

figura 1  —  as forças que agem sobre o corpo são seu peso  e a força de tração no fio   —  no equilíbrio P e T se anulam  —  P=T  —  P=mg=ρVg  —  T= ρVg  —  observe pela figura 1 que a configuração fornecida corresponde ao 2^o harmônico (n=2)  —  f₂=2.V/2L=2.√(T/μ)/2L  —  f₂=1/L.√ (ρVg/μ)  —  na situação da figura 2 surge sobre o corpo também um empuxo , vertical e

para cima e no equilíbrio  —  P= T’ + E  —  T’= P – E  —  T’ = ρVg – δVg  —  T’=Vg(ρ – δ)  —  observe pela figura 2 que a configuração fornecida corresponde ao 4^o harmônico (n=4)  —

f₄=4V’/2L  —  V’=√(T’/μ)= √( Vg(ρ – δ)/μ)  —  f₄=4.√( Vg(ρ – δ)/μ)/2L  —  f₄=(2/L).√( Vg(ρ – δ)/μ)  —  observe que nos dois casos a frequência de oscilação é a mesma, que é a da fonte  —  f₂=f₄  — 1/L.√ (ρVg/μ) = (2/L).√( Vg(ρ – δ)/μ)  —  1/L.√ (ρVg/μ) = 1/L.√(4 Vg(ρ – δ)/μ)  —  ρ = 4(ρ – δ)  —  ρ = 4ρ – 4 δ  — 3ρ = 4 δ  —   ρ/δ = 4/3  —  R- B

17- Observe nas figuras abaixo as ondas estacionárias formadas em cada caso  —  γ₁/2=L  —  γ₁=2L  —  V₁= γ₁.f₁  —  V₁=2L.f₁

(I)  —γ₂/2=L/2 —  γ₂=L  —  V₂= γ₂.f₂  —  V₂=L.f₂ (II)  —  como a velocidade de propagação em cada caso é a mesma  —  V₁=V₂  —  I=II  —  2Lf₁=L_f2  —  2.220=f₂  —  f₂=440Hz  —  R- A

 

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