MHS – SISTEMA MASSA-MOLA
MHS – SISTEMA MASSA-MOLA
Sistema massa-mola
Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre uma trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio O, sob ação de uma força denominada força restauradora (Fel) que sempre é dirigida para O. Essa força é a força elástica fornecida pela expressão Fel = – kx (lei de Hooke)
À medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posição de equilíbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a força restauradora vai aumentando até atingir um valor máximo no ponto x = +A (abscissa máxima, a partir da qual, retornará)).
Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0, e esta força terá módulo máximo no ponto de abscissa x = -A, a partir de onde, retornará.
A distância do ponto O até os extremos x= +A e x= -A é chamada de amplitude A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e –A, ocorre inversão de sentido do movimento e a velocidade se anula.
Observe também que na passagem pela posição de equilíbrio (ponto O), a velocidade é máxima em módulo.
O período T desse MHS é fornecido pela expressão:
T período
tempo que a massa m demora para efetuar um “vai e vem” completo
m massa que executa o MHS
k constante elástica da mola
Da lei de Hooke
F= -kx e da segunda lei de Newton
F=m.a, obtemos
-k.x = m.a
a = – k/m.x.
Igualando a = -k/m.x. com a = -w2.x, obtemos – k/m.x = – w2.x
w=√(k/m).
Lembrando que w=2π/T e igualando essa expressão com a anterior √(k/m) = 2π/T
isolando T, obtemos a expressão
T=2π√(m/k).
Observe na expressão acima que o período T da massa oscilante não depende da amplitude e nem da aceleração da gravidade local, independente do fato da oscilação ser na vertical.
Energia no MHS no plano horizontal
A energia potencial é a elástica
Ep = k.x2/2.
Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x = 0 e é máxima nos extremos onde x = +A e X = -A, onde x2 é máximo e vale A2 Ep=kA2/2.
A energia cinética vale Ec=m.v2/2.
Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde
v = 0.
A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou
Em = kx2/2 + m.v2/2.
Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que
Em=Ec + Ep
Em= 0 + k.A2/2
Em = k.A2/2 = constante.
No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x = 0, temos que
Em=Ec + Ep
Em=mv2/2 + 0
Em= mv2max/2 = constante.
Gráficos
Se a massa estiver oscilando na vertical
Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.
Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos Fe= P
k.x = m.g
x = m.g/k e x = A.
Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.
Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional
O que você deve saber, informações e dicas
Na expressão T=2π√(m/k) você observa que o período (e consequentemente a freqüência) do MHS do sistema massa-mola depende da massa m do corpo e da constante elástica k da mola, mas não depende da amplitude A da oscilação e nem da aceleração da gravidade local, mesmo que o movimento seja na vertical, desde que seja a mesma mola e a mesma massa.
Energia no MHS no plano horizontal
A energia potencial é a elástica
Ep = k.x2/2.
Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x = 0 e é máxima nos extremos onde x = +A e X = -A, onde x2 é máximo e vale A2 Ep=kA2/2.
A energia cinética vale Ec=m.v2/2.
Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde
v = 0.
A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou
Em = kx2/2 + m.v2/2.
Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que
Em=Ec + Ep
Em= 0 + k.A2/2
Em = k.A2/2 = constante.
No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x = 0, temos que
Em=Ec + Ep
Em=mv2/2 + 0
Em= mv2max/2 = constante.
Se a massa estiver oscilando na vertical
Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.
Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos Fe= P
k.x = m.g
x = m.g/k e x = A.
Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.
Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional