MHS – SISTEMA MASSA-MOLA

MHS – SISTEMA MASSA-MOLA

Sistema massa-mola Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre uma trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio O, sob ação de uma força denominada força restauradora  (Fel) que sempre é dirigida para O. Essa força é a força elástica fornecida pela expressão Fel = – kx (lei de Hooke)

 À medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posição de equilíbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a força restauradora vai aumentando  até atingir um valor máximo no ponto x = +A (abscissa máxima, a partir da qual, retornará)).

Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da posição 0, uma  força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0, e esta força terá módulo máximo no ponto de abscissa x = -A, a partir de onde, retornará.

A distância do ponto O até os extremos x= +A e x= -A é chamada de amplitude A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e –A, ocorre inversão de sentido do movimento e a velocidade se anula.

Observe também que na passagem pela posição de equilíbrio (ponto O), a velocidade é máxima em módulo.

O período T desse MHS é fornecido pela expressão:

T período tempo que a massa m demora para efetuar um “vai e vem” completo

m massa que executa o MHS

k constante elástica da mola

 

Da lei de Hooke F= -kx e da segunda lei de Newton F=m.a, obtemos   -k.x = m.a  

a = – k/m.x.

Igualando  a = -k/m.x. com a = -w2.x, obtemos    - k/m.x = – w2.x    w=√(k/m).

Lembrando que w=2π/T e igualando essa expressão com a anterior    √(k/m) = 2π/T isolando T, obtemos a expressão   T=2π√(m/k).

Observe na expressão acima que o período T da massa oscilante não depende da amplitude e nem da aceleração da gravidade local, independente do fato da oscilação ser na vertical.

 

Energia no MHS no plano horizontal

A energia potencial é a elástica    Ep = k.x2/2.

Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x = 0 e é máxima nos extremos onde x = +A e X = -A, onde x2 é máximo e vale A2 Ep=kA2/2.

 

A energia cinética vale Ec=m.v2/2.

Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde

v = 0.

 

A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2  ou  Em=Ec + Ep  ou 

Em = kx2/2 + m.v2/2.

Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que  Em=Ec + Ep  Em= 0 + k.A2/2    

Em = k.A2/2 = constante.

No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x = 0, temos que  Em=Ec + Ep    Em=mv2/2 + 0    Em= mv2max/2 = constante.

Gráficos

 

Se a massa estiver oscilando na vertical

 

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.

Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos    Fe= P    k.x = m.g    x = m.g/k e x = A. 

Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.                                      

Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A,  em torno de 0Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

 

O que você deve saber, informações e dicas

Na expressão T=2π√(m/k) você observa que o período (e consequentemente a freqüência) do MHS do sistema massa-mola depende da massa m do corpo e da constante elástica k da mola, mas não depende da amplitude A da oscilação e nem da aceleração da gravidade local, mesmo que o movimento seja na vertical, desde que seja a mesma mola e a mesma massa.

 Energia no MHS no plano horizontal

A energia potencial é a elástica    Ep = k.x2/2.

Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x = 0 e é máxima nos extremos onde x = +A e X = -A, onde x2 é máximo e vale A2 Ep=kA2/2.

 

A energia cinética vale Ec=m.v2/2.

Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde

v = 0.

 

A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2  ou  Em=Ec + Ep  ou 

Em = kx2/2 + m.v2/2.

Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que  Em=Ec + Ep  Em= 0 + k.A2/2    

Em = k.A2/2 = constante.

No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x = 0, temos que  Em=Ec + Ep    Em=mv2/2 + 0    Em= mv2max/2 = constante.

Se a massa estiver oscilando na vertical

 

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.

Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos    Fe= P    k.x = m.g    x = m.g/k e x = A. 

Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.                                      

Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A,  em torno de 0Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

 

Confira os exercícios e resoluções comentadas