Composição de Movimentos

COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

Você está olhando de cima a carroceria de um caminhão que está em repouso. Sobre a carroceria você está vendo uma bola que está se movendo com velocidade, em relação à mesma (carroceria), na direção e sentido indicados na figura. Essa velocidade é chamada de velocidade relativa.

Em seguida, o caminhão adquire movimento retilíneo e uniforme de direção horizontal e sentido para a direita, com velocidade  em relação à Terra. Essa velocidade é chamada de velocidade de arrastamento.

Segundo o princípio da independência de movimentos (Galileu Galilei) a bola apresentará dois movimentos parciais:

O primeiro em relação à carroceria () e o segundo, provocado pelo deslocamento do caminhão

().

A velocidade da bola em relação à Terra (vista por uma pessoa na Terra), que é chamada de velocidade resultante, será , tal que:

 

O que você deve saber, informações e dicas.

Concentre-se e procure entender as explicações a seguir:

Exemplos clássicos:

Um barco desenvolve velocidade própria (em relação à água) VB=4m/s num rio em que a correnteza tem velocidade Vc=3m/s (velocidade da água em relação à margem). O rio tem largura de 100m. Pede-se:

a) A velocidade () do barco em relação à margem, quando ele sobe o rio.

Em módulo  V = 4 – 3   V = 1m/s (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, subindo o rio).

b) A velocidade () do barco em relação à margem, quando ele desce o rio.

Em módulo  V = 4 + 3    V = 7m/s (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, descendo o rio)

c) A velocidade () do barco em relação à margem sabendo que durante a travessia seu eixo se mantém perpendicular à mesma.

Em módulo   V2=Vb2 + Vc2   V=√16 + 9  V=5m/s (velocidade do barco visto por uma pessoa parada na margem do rio.

d) Qual é o tempo mínimo de travessia?

Esse tempo só ocorre quando o barco é colocado perpendicularmente à margem do rio (item anterior com Vb=4 m/s).

Vb =d/tmínimo 4 = 100/tmínimo tmínimo = 25 s.

Lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da velocidade do barco (Vb) e da largura do rio (d = 100m). Isso ocorre porquevelocidade do barco e a velocidade da correnteza são perpendiculares entre si, e a velocidade do barco não tem componente na direção da correnteza ou seja, acorrenteza não terá nenhuma influência no tempo que o barco gasta para atravessar o rio; haja ou não correnteza o tempo de travessia será o mesmo, pois o efeito da correnteza é unicamente o de deslocar o barco rio abaixo.

Da mesma maneira, sendo nula a componente da velocidade do barco na direção da correnteza, a velocidade do barco não terá influência no seu deslocamento (da correnteza) rio abaixo.

e) Determine, com o eixo perpendicular à margem, a distância que o barco percorre rio abaixo, ou seja, a distância XY (figura).

Essa distância é devida apenas à velocidade da correnteza de valor Vc = 3m/s  Vc=ΔS/Δt  3=XY/25 XY=75m.

f) Qual é a distância total que o barco percorre (distância PX) do item anterior?

Você pode calcular essa distância (PX) de duas maneiras:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo (PX)2 = (PY)2 + (XY)2 = 1002 + (75)2 =

10000 + 5625 (PX) = √(15625) (PX) = 125 m.

Na direção (PX) a velocidade do barco tem intensidade V = 5 m/s e percorre essa distância em ∆t = 25s V = ∆S/∆t 5 = (PX)/25 PX = 5.25 PX = 125m.

g) Qual deve ser a velocidade () do barco em relação à margem de modo que a distância percorrida durante a travessia seja mínima? Que ângulo o barco deve estar inclinado em relação à perpendicular à margem?

Para que a distância percorrida seja mínima o barco deve atravessar o rio perpendicularmente, ou seja, pelo caminho PY (menor distância entre as margens) e, para que isso ocorra o barco deve estar posicionado conforme a figura abaixo. Assim, a velocidade resultante () deve ser perpendicular à margem de modo que  forme um ângulo β com , tal que:

Cálculo da intensidade de aplicando Pitágoras no triângulo retângulo  Vb2 = V2 + Vc2  —  42 = V2 + 9  V=√7=2,6m/s  senβ = Vc/Vb = 3/4  β – arco cujo seno é 3/4.

 

 Um esquiador está parado na neve e observa que os flocos de neve caem verticalmente com velocidade de 7,2km/h em relação ao solo.

Em seguida, ele entra em movimento  horizontal para a direita com velocidade V=36km/h em relação ao solo.

Calcule a velocidade Vfe dos flocos em relação ao esquiador.

Observe que a velocidade dos flocos quando o esquiador está parado, que é vertical, fica inclinada quando ele entra em movimento.

Movimento dos flocos em relação ao solo (movimento resultante) Vfs = 7,2km/h/3,6 = 2m/s.  Movimento do esquiador em relação ao solo (movimento de arrastamento)  Ves = 36km/h/3,6 = 10m/s.

 É pedido o movimento dos flocos em relação ao esquiador Vfe (movimento relativo). Veja figura:

Aplicando Pitágoras  (Vfe)2 = (2)2 + (10)2  Vfe=10,2 m/s.

Direção que os flocos de neve formam com a vertical  tgβ = Ves/Vfs = 10/2  β=arco cuja tangente é 5.

Considere um carro se movendo numa estrada plana e horizontal com velocidade de intensidade V. As rodas desse carro rolam sem escorregar. O ponto 0corresponde ao eixo da roda, que tem a mesma velocidade que o carro em relação ao solo, e velocidade nula em relação ao carro.

Observe que:

O único ponto da roda que está em repouso em relação ao carro é o ponto 0 e que possui a mesma velocidade V que o carro.

No movimento de translação, com o carro se movendo para a esquerda com velocidade de intensidade V, todos os pontos da roda nesse deslocamento também possuem velocidade V.

Devido à rotação em torno de 0, todos os pontos da periferia (parte externa) da roda devem ter a mesma velocidade de intensidade V, que é sempre tangente em cada ponto e orientadas no sentido de rotação da roda (no caso, anti-horário, pois o carro de desloca para a esquerda).

Efetuando a composição dos dois movimentos, de rotação e de translação:

Intensidade da velocidade resultante nos pontos 0, A, B, C e D:

Veja na figura abaixo, a intensidade da velocidade de translação dos pontos 0, A e C de uma das rodas do carro, que está se movendo para a esquerda comvelocidade V:

 

Considere uma pessoa que tem entre as palmas de suas mãos um cilindro de eixo C horizontal. Admita que em determinado instante as mãos da pessoa estejam dotadas de movimentos verticais, com a mão esquerda (mão A) descendo, com velocidade de intensidade 8,0 cm/s, e a mão direita (mão B) subindo, com velocidade de intensidade 12 cm/s, conforme representa o esquema.

Supondo que não haja escorregamento do cilindro em relação às mãos, determine no instante considerado as características (intensidade, direção e sentido) da velocidade do eixo C.

Veja as velocidades dos pontos O, A e C (V0 = V, VA = 2V e VC = 0) das rodas do carro estudadas acima e compare-as com o cilindro desse exemplo.

Observe nas figuras abaixo que devido somente à mão A (a B parada), o centro do cilindro (ponto C)

desceria com V1=4cm/s e que, devido somente à mão B (a A parada) ele subiria com V2=6cm/s.   Superpondo os efeitos provocados por cada mão você obterá oefeito resultante e o eixo C subirá com velocidade de intensidade Vc = 6 – 4 =2cm/s, direção vertical e sentido para cima.

Como se locomove um trator de esteira ou um tanque de guerra com esteira

trator de esteira é um trator comum, e a única diferença é que no lugar de ter pneus para se locomover foram colocadas esteiras, o que garante uma maior aderência ao solo, e ainda uma melhor distribuição de peso quando está sendo operado em solos onde a terra é solta, também em terrenos pantanosos.

Possui grande facilidade de se mover em terrenos irregulares, não deslizam e, por esses motivos, também são utilizados como tanques de guerra.

A figura representa um trator de esteira. Os roletes estão acoplados ao motor e giram em movimento circular uniforme com a mesma velocidade angular W. Adiferença de velocidade relativa entre as partes da esteira é responsável pelo movimento do trator.

Em relação ao solo, o corpo do trator e cada um dos eixos de seus roletes que estão fixos no trator, avançam com velocidade V. Todos os pontos da parte superiorda esteira se movem com velocidade 2V e todos os pontos da parte inferior da esteira, em contato com o solo, tem velocidade nula. 

Observe que ele não desliza porque todos os pontos da parte inferior da esteira estão em repouso em relação ao solo e que a velocidade dos pontos da esteira variam de zero até 2V.

Exemplo numérico para que você entenda:

O trator de esteira esquematizado na figura está em movimento retilíneo e uniforme para a direita,

com velocidade de módulo v. Suponha que não ocorra deslizamento da esteira em relação ao solo nem da esteira em relação aos roletes.

Os roletes são idênticos, possuem raio R = 20 cm e giram em torno dos respectivos eixos que estão acoplados ao motor, o qual gira o eixo de cada rolete com amesma frequência.  

Sabendo que uma mancha M da esteira (indicada na figura) gasta 1 s para deslocar-se do ponto P até o ponto Q, e que nesse deslocamento ela percorre  8m em relação ao solo, calcule:

a) o valor da velocidade v do corpo do trator (que é a mesma que a de cada um dos eixos), bem como o comprimento d indicado na figura;

b) a frequência de rotação de cada rolete em relação ao trator. (considere π = 3).

a) A mancha M da parte superior da esteira (assim como qualquer ponto da mesma) quando se move

de P para Q, se desloca com velocidade 2v em relação ao solo, percorrendo ∆S=8m, também em

relação ao solo, no intervalo de tempo ∆t = 1 s.

Com os dados acima você vai calcular a velocidade V do corpo do trator que é a mesma para cada eixo do rolete V = ∆S/∆t  2v=8/1  v = 4 m/s x 3,6 = 14,4 km/h (velocidade do corpo trator e de cada eixo de cada rolete).

Distância d percorrida pelo corpo do trator que se desloca com velocidade V = 4 m/s no intervalo de

tempo de ∆t = 1s v=d/∆t    4=d/1   d=4m.

b) Em relação ao trator, todos os pontos da periferia de cada rolete giram com a mesma velocidade escalar (linear) v, que é a mesma que do trator v = 4 m/s.

Numa volta completa  ∆S=2πR=2x3x0,2 ∆S=1,2m V=∆S/∆t  V=∆S/T  4=1,2/T  T = 0,3s

(T período, tempo que cada rolete demora para efetuar uma volta completa). 

A frequência f pedida é o inverso do período T f = 1/T = (1/0,3) Hz  f=(1/0,3)x60  f=200rpm.

 

Baseado na figura abaixo, considere:

VA=500km/h    módulo da velocidade do avião em relação à Terra

VV=100km/h    módulo da velocidade do vagão em relação à Terra

VB=3km/h    módulo da velocidade de B em relação ao vagão

VC=2km/h    módulo da velocidade de C em relação ao vagão

  uma pessoa em repouso em relação ao vagão

  uma árvore

VPL=80km/h   módulo da velocidade de PL em relação à Terra

Baseado nos dados acima, procure entender as velocidades relativas entre:

a) Vagão e P  VVP=100km/h   (a distância entre o vagão e a árvore varia (aumenta) na razão de 100km/h.   

b) B e o Vagão   VBV=3km/h (a distância entre B e qualquer ponto fixo no vagão varia na razão de 3 km/h).  

c) Vagão e B    VVB=3km/h   (a distância entre qualquer ponto fixo no vagão e Bvaria na razão de 3 km/h).  Observe que VBV e VVB tem o mesmo módulo de 3 km/h.

d) B e D    VBD=3km/h  (a distância entre B e D varia na razão de 3 km/h).

e) D e P    VDP=100km/h  (a distância entre D e P varia na razão de 100 km/h).

f) B e C  VBC=5km/h  (a distância entre B e C varia (aumenta) numa razão de (2 + 3) = 5 km/h).   

g) C e B    VCB=5km/h  (veja f).   

h) D e PL  VDPL=20km/h (a distância entre D e PL varia na razão de (100 – 80) = 20 km/h)

i) Vagão e A    VVA=600km/h  (a distância entre o vagão e e o avião está variando (aumentando) na razão de (500 + 100) = 600 km/h).  

j) B e P    VBP=103km/h (a distância entre o vagão e e o avião está variando (aumentando) na razão de (3 + 100) = 103 km/h).  

l) P e C    VPC=98km/h  (a distância entre P e C e o avião está variando (aumentando) na razão de (100 – 2) = 98 km/h).  

m) B e PL   VBPL=23km/h

n) B e A    VBA=603km/h    

o) C e PL   VCPL=18km/h   

p) A e C   VAC­=598km/h

 

  Um menino está sobre um vagão-prancha de 10 m de comprimento, que se desloca sobre trilhos retilíneos com velocidade constante de módulo 36 km/h em relação ao solo. Em certo momento, o menino começa a se deslocar da parte de trás do vagão e alcança a sua frente após 5,0 s, com passadas regulares.

Vamos calcular, para o intervalo de tempo considerado:

I. O módulo do deslocamento do menino em relação ao vagão.

Vamos observar apenas o menino e o vagão, podendo considerar o vagão parado.

Quando o menino chega ao final do vagão a distância entre um ponto fixo no menino e um ponto fixo no início do vagão variou de d=10m.

II.O módulo da velocidade do menino, em relação ao vagão.

Vamos observar apenas o vagão e o menino. Assim, a distância entre um ponto fixo no menino e um ponto fixo no início do vagão está variando na razão de d=10m em ∆ t=5s e, assim, o módulo da velocidade do menino em relação ao vagão é de V= d/∆t = 10/5 = 2m/s.

II. O módulo da velocidade do menino em relação ao solo.

Uma pessoa parada no solo verá o menino se deslocando para a direita com velocidade de 2m/s

mais o vagão também se deslocando para a direita com velocidade de 10m/s .

Portanto a distância entre  um ponto fixo no solo e um ponto fixo no menino estará variando com velocidade de V=2 + 10=12m/s.

 

Confira os exercícios de vestibulares sobre Composição de Movimentos