Movimento Harmônico Simples (MHS) – Função horária da elongação

Movimento Harmônico Simples (MHS)​​ – Função horária da elongação

 

Um​​ Movimento Harmônico Simples (MHS)​​ refere-se ao​​ estudo das oscilações vibratórias harmônicas​​ do ponto de vista​​ cinemático e dinâmico​​ através de suas​​ funções horárias.

 

Conceitos e definições

 

​​  Movimento periódico   todo movimento​​ que​​ se repete​​ em​​ intervalos​​ de tempo iguais.

 Movimento oscilatório​​ (vibratório)​​ harmônico  ​​ o​​ móvel​​ se desloca sobre a mesma trajetória, indo e vindo,​​ em relação a uma posição média de equilíbrio​​ (ponto​​ O,​​ onde a resultante das forças​​ que agem sobre ele​​ é nula)

 período T é o tempo em que o corpo em cada uma das figuras (figura 1​​ ​​ pêndulo simples; figura 2​​ ​​ pêndulo de mola; figura 3​​ ​​ ​​ sistema massa-mola e figura 4​​ ​​ lâmina​​ vibrante)

demora para ir de​​ A até A’​​ e depois​​ retornar a A,​​ ou seja,​​ é o​​ tempo decorrido entre duas passagens​​ consecutivas​​ do corpo por um​​ mesmo ponto da trajetória.

 A frequência f representa o número de vezes​​ que o móvel​​ passa pelo mesmo ponto​​ da

trajetória,​​ na unidade de tempo,​​ ou seja, é o número de vezes que o fenômeno se repete,​​ na unidade de tempo.​​ 

 Quando o período T​​ é medido em​​ segundos (s), a frequência​​ f​​ é medida​​ em hertz (Hz), sendo

1 Hz = 1oscilação por segundo.

 

 

Movimento Harmônico Simples (MHS)

 

 Podemos generalizar um MHS como a projeção ortogonal​​ de um​​ movimento circular uniforme​​ (MCU) sobre​​ uma reta.

 

Definições

 

​​ ​​ Elongação (x)  posição (localização) da​​ partícula​​ em MHS​​ sobre o eixo x​​ em relação à origem 0, ou seja, mostra a que distância de 0 a partícula se encontra em determinado instante.

​​ Amplitude (A)  em módulo​​ é a elongação máxima do MHS e corresponde ao raio da circunferência​​ do​​ MCU (R = A).

​​ Período (T)  corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um “vai e vem” completo​​ sobre a reta x.

​​ Frequência​​ (f)  número de voltas completas​​ (MCU) ou número de idas e voltas completas​​ (MHS),​​ na unidade de tempo.

 

Função horária da elongação x​​ de um MHS

 

 

Gráfico da elongação X (deslocamento sobre o eixo X) e o tempo t

 

 

Os​​ ângulos​​ são medidos em radianos (rad) e a pulsação w​​ em radianos por segundo (rad/s)

Observação:​​ Analise​​ atentamente o​​ exercício a seguir​​ que envolve praticamente​​ todo o conteúdo desenvolvido acima:

​​ (fisicaevestiular)​​ Uma​​ partícula​​ realiza um​​ MHS​​ em torno do​​ ponto O​​ com​​ período de 2​​ s, conforme figura abaixo:

Os​​ pontos​​ M e N​​ são os​​ extremos da oscilação​​ e no​​ instante t=0​​ a​​ partícula​​ está​​ passando sobre o ponto 0,​​ deslocando-se para a​​ esquerda.

Pede-se​​ para​​ esse MHS:

a)​​ a​​ frequência​​ f

b)​​ a​​ pulsação w​​ (velocidade angular)

c)​​ a​​ amplitude

d)​​ a​​ fase inicial

e)​​ a​​ função horária da elongação

f)​​ a​​ elongação​​ nos​​ instantes t​​ =​​ 0; t​​ =​​ 0,5​​ s; t​​ =​​ 1​​ s; t​​ =​​ 1,5​​ s, t​​ =​​ 2​​ s e t​​ =​​ 4,5​​ s.

g)​​ Esboce o​​ gráfico​​ da​​ elongação x em função do tempo t,​​ desde​​ t​​ =​​ 0 até t​​ =​​ 4,5​​ s.

 Resolução:

a) ​​ É fornecido o​​ período​​ T​​ =​​ 2​​ s​​ que é o​​ tempo​​ que a partícula em​​ MCU​​ demora para efetuar uma oscilação completa​​ ou o​​ tempo​​ que a partícula em​​ MHS​​ demora para efetuar um “vai e vem”​​ completo.

circunferência​​ do​​ MCU (R = A).

A​​ =​​ 4​​ m

f) 

g)​​ Gráfico​​ da​​ elongação x​​ em função do​​ tempo t,​​ desde​​ t = 0 até t = 4,5 s.

 

 

Exercícios de vestibulares com resolução comentada sobre​​ função horária da elongação do MHS

 

01-​​ (UPE​​ -​​ PE)

metros​​ e​​ t em​​ segundos,​​ analise as​​ seguintes afirmativas:

I.​​ A​​ amplitude​​ é​​ 4 m.

II.​​ O​​ período​​ é​​ 4 s.

III.​​ A​​ frequência​​ do​​ movimento oscilatório​​ é​​ 0,25 Hz.

Está​​ CORRETO​​ o que se​​ afirma em

A)​​ I, apenas.        

B)​​ I e II, apenas.         

C)​​ I e III, apenas.            

D)​​ II e III, apenas.            

E)​​ I, II e III.

Resolução:

R- E.

 

02- (UFG - GO) 

O​​ gráfico​​ mostra a​​ posição​​ em função do​​ tempo​​ de uma​​ partícula​​ em movimento harmônico simples​​ (MHS)​​ no​​ intervalo de tempo​​ entre​​ 0 e 4 s.​​ 

Resolução:

Amplitude A​​ (figura abaixo)

A = 2m

Observe no​​ gráfico​​ que ele efetua uma​​ oscilação completa no intervalo de tempo entre 0 e 4 s,​​ 

 

03- (UFV​​ -​​ MG) 

Duas partículas​​ descrevem​​ movimentos harmônicos simples​​ representados nos​​ gráficos (I) e (II)​​ a seguir.

É​​ CORRETO​​ afirmar que os​​ dois movimentos​​ têm:

a)​​ mesma​​ frequência,​​ amplitudes​​ iguais e​​ fases diferentes.

b)​​ frequências​​ diferentes,​​ amplitudes​​ iguais e​​ fases diferentes.

c)​​ mesma​​ frequência,​​ amplitudes​​ diferentes e​​ mesma fase.

d)​​ mesma​​ frequência,​​ amplitudes​​ iguais e​​ mesma fase.

e)​​ frequências​​ diferentes,​​ amplitudes​​ iguais e​​ mesma fase.

Resolução:

​​ 

R- B

 

04-​​ (UFL – MG)​​ 

a)​​ Identifique​​ a​​ amplitude, a​​ frequência​​ e o​​ período​​ do​​ movimento.

b)​​ Em que​​ instante,​​ após o início do movimento,​​ o​​ corpo​​ passará pela​​ posição x​​ =​​ 0?

Resolução:

 

05- (UFPI - PI) 

Determine​​ a​​ fase inicial,​​ a​​ pulsação​​ ou​​ frequência angular​​ e a​​ função horária da elongação desse movimento.

Resolução:

O​​ período​​ T​​ que é o​​ tempo que ele demora para efetuar uma oscilação completa​​ (por exemplo,

 

06-​​ (FUVEST​​ -​​ SP) 

Enquanto uma​​ folha de papel​​ é puxada com​​ velocidade constante​​ sobre uma​​ mesa,​​ uma​​ caneta​​ executa​​ movimento de vaivém perpendicularmente à direção de deslocamento do papel,​​ deixando​​ registrado na folha um traço em forma de​​ senoide.​​ 

A​​ figura abaixo​​ representa um​​ trecho AB do traço,​​ bem como as​​ posições​​ de alguns de seus​​ pontos​​ e os​​ respectivos instantes.

Pede-se:

a)​​ a​​ velocidade​​ de​​ deslocamento​​ da folha

b)​​ a​​ razão​​ das​​ frequências​​ do​​ movimento de vaivém da caneta​​ entre os instantes​​ 0 a 3​​ s​​ e​​ 5​​ s a 13​​ s.

Resolução:

Pela​​ figura,​​ entre​​ 5 s e 13 s​​ o​​ período​​ será​​ T​​ = 13 – 5​​ =​​ 8 s​​ e a​​ frequência​​ será​​ f =​​ 1T​​ =​​ 18 ​​​​ ​​ 

f2​​ =​​ 18​​ Hz

É pedida a​​ razão​​ r =​​ f1f2​​ =​​ 1218​​ =​​ 12x81 ​​​​  ​​​​ f1f2​​ = 4

 

07- (UNICAMP​​ -​​ SP) 

 ​​​​ 

Enquanto o​​ ponto P​​ se move sobre uma​​ circunferência,​​ em movimento​​ circular uniforme​​ com​​ velocidade angular ω​​ =​​ 2rad/s,​​ o​​ ponto M​​ (projeção de P sobre o eixo x) executa um​​ movimento harmônico simples entre os pontos A e A’.

Nota:
B e C​​ são os​​ pontos médios​​ de​​ AD e DA’,​​ respectivamente.

a)​​ qual é a​​ frequência​​ do​​ MHS executado​​ por​​ M?
b)​​ determine o​​ tempo​​ necessário​​ para o​​ ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C.

Resolução: