Sistema de Unidades – Análise Dimensional

Introdução à Física

Sistema de Unidades – Análise Dimensional

 

Grandezas Físicas

Quando você está estudando um determinado fenômeno, você analisa as variáveis que participam dele, de modo que elas forneçam dados relevantes sobre o  mesmo.

Estas variáveis se denominam grandezas físicas que correspondem a tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Escolhida a grandeza física a ser analisada no fenômeno você deve medi-la o que significa compará-la com outra de mesma natureza, ou seja, com um padrão denominado unidade.

Assim, a medição é a técnica por meio da qual você atribui um número a uma grandeza física e, para avaliá-la, você deve compará-la com outra similar tomada como padrão, denominada unidade.

Exemplo: O jovem da figura está medindo sua massa (48kg) e sua altura (1,5m) onde massa e altura são, respectivamente, as grandezas físicas, 48 e 1,5 (números) e kg e m os nomes das unidades empregadas.

Unidades de medidas

Por muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo humano:

palmo, pé, polegada, braça, côvado.

Isso acabou gerando muitos problemas, principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de produtos.

Por esse motivo a Academia de Ciência da França, em 1789, criou um sistema de medidas baseada

numa constante padrão e não arbitrária denominado Sistema Métrico Decimal que era formado inicialmente por três unidades fundamentais básicas: o metro, o litro e o quilograma.

Sistema Métrico Decimal Atual

Atualmente o metro é definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo; o quilograma corresponde a massa de um modelo internacional de platina iridiada (feito

de iridio e platina) que se encontra conservado no Escritório Internacional de Pesos e Medidas

(BIPM), situado no parque de Sant Cloud, nas proximidades de Paris (França).

Um litro corresponde ao volume interno de um recipiente em forma de cubo com 1dm de aresta (1 L=

1 dm³).

 

Sistema Internaconal de Unidades (SI)

Com o decorrer do tempo, com as relações comerciais entre os países aumentando foi necessário obter um sistema de unidades mais abrangente, útil e complexo, o Sistema Internacional de Unidades (SI) que, no Brasil, foi adotado em 1962 sendo posteriormente, em 1998 ratificado pelo CONMETRO que tornou seu uso obrigatório em todo Brasil.

Nela constam as sete grandezas de base adotadas pela Organização Internacional de Normatização (ISO) que são: comprimento, massa , tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa, cujas características estão na tabela ao lado .

Todas as outras grandezas são descritas como grandezas derivadas e são medidas utilizando unidades derivadas, que são definidas como produtos de potências de unidades de base. Exemplos de grandezas derivadas e de unidades derivadas estão listadas na tabela abaixo.

Unidades derivadas com nomes especiais no SI

 

 

Regras para se escrever unidades do SI

As unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser escritas por seus nomes ou representadas por seus símbolos. Exemplos:

Os nomes das unidades do SI devem ser escritos em letra minúscula, mesmo sendo nomes de pessoas. 

Exemplos: quilograma; newton, metro quadrado, kelvin, etc

Os símbolos das unidades são impressos em caracteres romanos (direitos).

Em geral os símbolos das unidades são escritos em minúsculas, mas, se o nome da unidade deriva de um nome próprio, a primeira letra do símbolo é maiúscula.

O nome da unidade propriamente dita começa sempre por uma minúscula, salvo se se trata do primeiro nome de uma frase ou do nome “grau Celsius”.

Escrevendo os nomes no plural    os nomes das unidades do SI não coincidem com as regras gramaticais, ou seja, os símbolos das unidades ficam invariáveis no plural.

Escrevendo os símbolos das unidades    o acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo.

Exemplos: megametro; hectolitro; centigrama; micrometro    exceções: quilômetro; decâmetro; hectômetro; decímetro; centímetro e milímetro.

Nenhum símbolo deve ser seguido de ponto.

Exemplos:

hora correto (h)    errado (h.;hr.); 

segundo correto (s) errado (s.;seg.); 

 metro correto (m) errado (m.;mtr.;mt.); 

minuto correto (min) errado (min.; minut);

 quilograma correto (kg) errado (kg.;kgr.).

O símbolo das unidades SI é invarável e, no plural não deve ser seguido de “s”. 

Exemplos:

12 horas (12h e não 12 hs);

5 minutos (5 min e não 5mins);

6 metros (6m e não 6ms).

 

Quando você for escrever uma unidade composta não misture nome com símbolo.

Exemplos:

Metro por segundo ao quadrado e não metro/s²; km/h e não km/hora.

 O grama é de gênero masculino e, portanto, você deve escrever fazendo a concordância de forma correta. 

Exemplos:

Seis quilogramas; oito miligramas; duzentos e vinte e um gramas.

 O prefixo quilo deve ser escrito de maneira correta. 

Exemplos:

Quilolitro e não kilolitro; quilômetro e não kilômetro; quilograma e não kilograma.

 Nas medidas de tempo você deve escrever os símbolos da maneira correta.

 Exemplos:

5h20min e não 5,20h ou 5h 20’;

2h24min5s e não 2h24’5’’.

Observação: os símbolos (’) e (’ ’) são unidades de ângulo plano e não de tempo.

 

Análise Dimensional

A análise dimensional no campo da física está relacionada com as unidades de medida das grandezas físicas e é útil na resolução de equações que relacionam essas grandezas físicas.

Ela facilita a memorização das equações matemáticas dos fenômenos físicos.

Qualquer equação matemática que representa uma situação física qualquer precisa, além de um número que a quantifique de uma unidade de medida que faça a classificação qualitativa.

 

Análise de uma grandeza física

Todas as grandezas físicas podem ser analisadas dimensionalmente através de três unidades que você deve tomar como parâmetros que são: Comprimento (L), Tempo (T) e massa (M).

As outras unidades de medidas de grandezas derivadas terão suas unidades de medidas provenientes dessas três. 

Costuma-se adotar as grandezas fundamentais do S.I. para se escreverem as equações dimensionais.

Representação de uma grandeza dimensional

Uma grandeza dimensional é representada por colchetes e você pode expressa-la em função das grandezas fundamentais.

Por exemplo, uma grandeza física (F), que depende da massa, do comprimento e do tempo, tem sua equação dimensional escrita da seguinte maneira:

Grandeza adimensional

Uma grandeza é dita adimensional se ela é desprovida de unidades, ou seja,  o resultado final da

dimensão é unitário.

Explicação dimensional Uma grandeza G é uma grandeza adimensional se G = v.t/∆S, sendo v a velocidade, t o tempo e ∆S o comprimento. 

Assim, [G] =(m/s)t/∆S = (L/T).T/L = L.T^-1 .T .L^-1    [G] = 1

Como proceder para calcular a fórmula dimensionals de uma grandeza dimensional derivada

Primeiro você deve conhecer a fórmula dimensional das grandezas físicas dimensionais fornecidas na tabela abaixo.

Consideram-se unidades derivadas do SI apenas aquelas que podem ser expressas através das unidades básicas (fundamentais) do SI, expressas na tabela acima.

Exemplos de como proceder no cálculo das dimensões de uma grandeza dimensional derivada ou de uma grandeza expressa por uma função matemática:

Calcule a fórmula dimensional das seguintes grandezas físicas derivadas:

Peso (P) unidade no SI [newton (N)]

Pressão (P_r) unidade no SI [pascal (P_a)]

                  

Energia, Trabalho (W) unidade no SI [joule J)]

 Trabalho é variação de energia    W = F.d = mad = (kg).(m/s²).m     [W] = (M).(L.T²).L

[W] = M.L².T^-2

ou, energia cinética E_c = mV²/2 = m.(ΔS/Δt)/ 2 = M.L² / T² [E_c] = M.L².T^-2

ou ainda, energia potencial gravitacional E_p =mgh = (kg).(m/s²).m     [E_p] = (M).(L.T²).L

[E_p] = M.L².T^-2

Segundo Einstein, uma luz de frequência f pode ser considerada como sendo constituída de fótons, partículas com massa em  repouso nula e com energia E = hf, sendo h a constante de Planck. Calcule a dimensão da constante h.

E = hf  h = E/f f = 1/T E = (F.d)/(1/T) = m.a.d.T^-1 = kg.m/s².m.s^-1    h = kg.m².s^-1    [h] = M.L².T^-1

Se uma equação que traduz uma lei física é homogênea, as parcelas que constituem os dois

membros da igualdade fornecem os

mesmos símbolos dimensionais.

Assim , na expressão da energia relativística de Einstein E = m_o.c², onde E representa a energia relativística da partícula em repouso, m_o a massa de repouso da partícula e c a velocidade da luz no vácuo, as unidades dimensionais de E (calculadas acima [E_c] = M.L².T^-2)  e de E = m_o.c² devem ser iguais. Prove essa igualdade.

Energia, Trabalho (W) unidade no SI [joule J)]   W = F.d = mad = (kg).(m/s²).m     [W] = (M).(L.T²).L [W] = M.L².T^-2 ou, energia cinética E_c = mV²/2 = m.(ΔS/Δt)/ 2 = M.L² / T² [E_c] = M.L².T^-2 ou ainda, energia potencial gravitacional E_p =mgh = (kg).(m/s²).m     [E_p] = (M).(L.T²).L

[E_p] = M.L².T^-2

Energia relativística E_r = m_o.c² [ m_o] = kg = M    c = m/s     c² = (m/s)² = m².s^-2

[c²] = L².T^-2  [ m.c²] = M.L².T^-2    portanto W, Ec, Ep, E_r e m.c² possuem símbolos dimensionalmente iguais e são homogêneas.

O que você deve saber, informações e dicas

Quando você está estudando um determinado fenômeno, você analisa as variáveis que participam dele, de modo que elas forneçam dados relevantes sobre o  mesmo.

Estas variáveis se denominam grandezas físicas que correspondem a tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

A medição é a técnica por meio da qual você atribui um número a uma grandeza física e, para avaliá-la, você deve compará-la com outra similar tomada como padrão, denominada unidade.

Sistema Internaconal de Unidades (SI)

Nele constam as sete grandezas de base adotadas pela Organização Internacional de Normatização (ISO) que são: comprimento, massa , tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa, cujas características estão na tabela ao lado .

Conhecer as Regras para se escrever as unidades do SI, enunciadas na teoria acima.

Qualquer equação matemática que representa uma situação física qualquer precisa, além de um número que a quantifique de uma unidade de medida que faça a classificação qualitativa.

Todas as grandezas físicas podem ser analisadas dimensionalmente através de três unidades que você deve tomar como parâmetros que são: Comprimento (L), Tempo (T) e massa (M).

As outras unidades de medidas de grandezas derivadas terão suas unidades de medidas provenientes dessas três. 

Costuma-se adotar as grandezas fundamentais do S.I. para se escreverem as equações dimensionais.

Uma grandeza dimensional é representada por colchetes e você pode expressa-la em função das grandezas fundamentais.

Por exemplo, uma grandeza física (F), que depende da massa, do comprimento e do tempo, tem sua equação dimensional escrita da seguinte maneira:

Analisar detalhadamente os exercícios acima sobre como calcular a fórmula dimensional de algumas grandezas físicas derivadas:

Fórmulas dimensionais de algumas grandezas físicas derivadas

Selecionei alguns exercícios para que você possa se aprofundar no assunto

Grandezas físicas, Sistema de Unidades e Análise Dimensional

01-(UERJ-RJ Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação

na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I_o é a intensidade na superfície.

Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada

na superfície. A profundidade do ponto P, em metros,

considerando log2 = 0,3, equivale a:

a) 0,64                                     

b) 1,8                                         

c) 2,0                                                 

d) 3,2 

Resolução: 

Observe que 32% da luminosidade da superfície vale    I = (32/100).l­o    I = l₀.0,8^h/40  

(32/100)l0 = l0.0,8h ^h/40  l₀.0,8^h/40     (32/100)l0 = l0.0,8h ^h/40    cancelando I0    (32/100) = 0,8 ^h/40.

Fazendo o logaritmo em ambos os lados da igualdade    log(32/100) = log[0,8 ^h/40)].   

Propriedades do log     log32 – log100 = (h/40).log0,8    log2⁵ – log10² = (h/40).log(8/10) 

5log2 – 2log10 = (h/40).(log8 – log10)  5.0,3 – 2 = (h/40).(log2³ – 1)    1,5 – 2 = (h/40).(3log2 – 1)    – 0,5 = (h/40).(3.0,3 – 1)    – 0,5 = (h/40).(- 0,1)    (- 0,5)/(- 0,1) = h/40    5 = h/40    h = 5.40    h = 200 cm=2,0m    R- C

02–Um projetista de máquinas de lavar roupas estava interessado em determinar o volume de água utilizado por uma dada lavadora de roupas durante o seu funcionamento, de modo a otimizar a economia de água por parte do aparelho. Ele percebeu que o volume V de água necessário para uma lavagem depende da massa m das roupas a serem lavadas, do intervalo de tempo ∆t que esta máquina leva para encher de água e da pressão P da água na tubulação que alimenta esta máquina de lavar.

Assim, ele expressou o volume de água através da função V = k m^a (∆t)^b Pⁿ, onde k é uma constante adimensional e a, b e n são coeficientes a serem determinados.

Calcule os valores de a, b e n para que a equação seja dimensionalmente correta.

Resolução: 

[V] = K.M^a.T^b.(F/A)ⁿ = K.M^a.T^b.(M.T^-2.L^-1)ⁿ    [V] = [L.L.L] = [L]³ [L]³ = K.M^a.T^b.Mⁿ.T^-2n.L^-1n L³/

L^-1n = K.M^a.T^b.Mⁿ.T^-2n (L³⁺ⁿ).(T²ⁿ).M⁰ = L⁰. K.(M^{a + n}).T^b    3 + n = 0    n = – 3     2n = b    2.

(-3) = b    b = – 6    a + n = 0    a – 3 = 0    a = 3.

 

Confira os exercícios com resoluções comentadas