Introdução à Teoria da Relatividade
Introdução à Teoria da Relatividade
Breve Histórico
Albert Einstein (1879-1955), pelos seus feitos científicos que inovaram radicalmente os caminhos
tecnológicos da humanidade, colaborou de forma extraordinária para o desenvolvimento da ciência, para a qualidade de vida de todos os habitantes do planeta Terra, alterando a visão dos cientistas nas áreas da física das partículas, astronomia, astrofísica, cosmologia, filosofia e outros
conceitos relacionados ao universo, quando, aos 26 anos de idade, em 1905, encaminhou para os Anais da Física um artigo que revolucionaria os conceitos tradicionais de espaço e tempo “ A Teoria Especial da Relatividade”.
Posteriormente, em 1916 ele publica a Teoria Geral da Relatividade e no ano seguinte um artigo que serviu de base para o raio laser referente à emissão estimulada da luz e um segundo artigo que é a base da cosmologia atual sobre a estrutura do Universo.
Conceito de referencial inercial
Considere um vagão em movimento retilíneo uniforme (MRU) e uma bola colocada sobre uma mesa, ambas no interior do vagão.
A primeira lei de Newton “Princípio da Inércia” afirma que qualquer corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme tende a manter esses estados, desde que nenhuma força atue sobre ele (força resultante sobre ele nula).
Nesse caso, um referencial no interior do vagão é inercial, pois em relação a ele as leis da física (no caso, princípio da inércia) são válidos, já que a bola em relação a esse referencial estará em repouso (primeira figura).
Se o vagão for freado, acelerado ou efetuar uma curva (segunda figura), a bola será deslocada sobre a mesa, saindo da sua posição de equilíbrio e sobre ela não surgiu nenhuma força de interação, ou seja, nenhuma força externa agiu empurrando ou puxando a bola.
Assim, nesse caso, o princípio da inércia não é válido para esse referencial que também está colocado no interior do vagão e ele não é um referencial inercial é um referencial não inercial. Portanto, num referencial não inercial, os corpos estão sujeitos a pseudo-forças (forças de inércia) que, em princípio, não podem ser atribuídas a qualquer agente direto.
Um referencial é denominado referencial inercial se nele a primeira lei de Newton (ou qualquer outra lei física) é válida.
Referenciais inercais são referenciais que se movem, uns em relação aos outros, com velocidade constante.
Conceito de Postulado
Um postulado na Teoria Física tem o mesmo papel que um axioma tem na Matemática.
É uma afirmação fundamental que não pode ser demonstrado logicamente.
Em Física, o postulado, é o resultado da generalização dos fatos experimentais.
Postulados da Relatividade Especial
A teoria da relatividade especial é construída a partir do postulado do princípio da relatividade de Einstein e do postulado da velocidade da luz:
Primeiro Postulado
“As leis da física devem ser exatamente as mesmas se descritas por observadores em diferentes referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial privilegiado (referencial absoluto)”.
Esse postulado afirma que não existe sistema de referência inercial preferencial no estudo de qualquer fenômeno físico.
Assim, o princípio da relatividade da mecânica clássica generaliza-se para todos os processos físicos da Natureza, ou seja, tanto as leis da Mecânica como as leis do Eletromagnetismo devem ter a mesma forma em qualquer referencial.
Então, por exemplo, observadores em referenciais inerciais diferentes medem a mesma aceleração para o movimento de uma partícula.
Segundo Postulado
Postulado da velocidade da luz: “A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todas as direções e em todos os referenciais inerciais ( a velocidade da luz é independente da velocidade da fonte)”.
Esta é a velocidade máxima com que qualquer tipo de informação pode ser transmitida.
A velocidade da luz não depende nem da velocidade do emissor (fonte emissora da luz), nem da velocidade do receptor (observador) do sinal luminoso.
Veja um exemplo: Suponha que, no futuro, uma base avançada seja construída em Marte. Suponha, também, que uma nave espacial está viajando em direção a Terra, com velocidade constante igual à metade da velocidade da luz. Quando essa nave passa por Marte, dois sinais de rádio são emitidos em direção à Terra, um pela base e outro pela nave. Ambos são refletidos pela Terra e, posteriormente, detectados na base em Marte. Sejam tb e tn os intervalos de tempo total de viagem dos sinais emitidos, respectivamente, pela base e pela nave, desde a emissão até a detecção de cada um deles pela base em Marte.
Como a velocidade da luz (onda eletromagnética) é 3.108 m/s e independe do referencial, não importando de a fonte emissora estar em repouso ou em movimento, essa velocidade será sempre a mesma e os tempos tb e tn serão iguais.
A velocidade da luz no vácuo é a velocidade máxima possível de transmissão de interação na Natureza e seu valor é c=3,0.108m/s. Ela não depende do sistema de referência inercial adotado. Observe que, se V = c = ΔS/Δt é constante para qualquer observador (referencial) então espaço (ΔS) e tempo (Δt) podem assumir valores diferentes dependendo do observador (referencial), pois o quociente ΔS/Δt é constante.
Dilatação do tempo
Ao discutir o conceito de tempo, Einstein mostrou que a simultaneidade (fatos que ocorrem em diferentes locais e ao mesmo tempo) é algo relativo.
Assim, o que é simultâneo para um observador poderá não ser simultâneo para outro observador que se move em relação ao primeiro.
Em outras palavras, a única razão pela qual todos nós sentimos espaço e tempo da mesma forma deve-se ao fato de todos nós estarmos nos movendo a uma mesma velocidade, uns em relação aos outros.
Contudo, quando os observadores se locomovem a velocidades extremamente diferentes,
o tempo entre eles não será mais simultâneo, mas diferente para cada um deles.
Einstein mostrou que a maneira como a mecânica clássica de Newton abordava alguns conceitos não era válida para algumas situações.
Explicando a dilatação do tempo com um exemplo simples muito utilizado.
Considere um vagão em movimento retilíneo e uniforme com velocidade constante de intensidade V em relação a um observador (Os) no solo. No interior do vagão existe um sistema de
referência inercial, observador Ov. Um raio de luz saindo do teto do vagão atinge o chão, percorrendo em relação ao vagão (ao observador Ov, dentro da vagão, figura I) uma distância h com velocidade da luz c num intervalo de tempo Δtv, tal que, V = c = h/Δtv 
h = c.Δtv.
Com o vagão em movimento (velocidade constante V), em relação ao observador Os no solo, a luz percorre uma distância d (figura II), maior que a observada por Ov, sendo d = V.Δts aplicando-se Pitágoras no triângulo retângulo da figura II d2 = h2 + (V.Δts)2, onde V é a velocidade do vagão e c a velocidade da luz observe que d = c.Δts e que h = c.Δtv c2.Δts2 = c2.Δtv2 + V2.Δts2 c2.Δts2 – V2.Δts2 = c2.Δtv2 Δtv2 = Δts2.( c2 – V2)/c2 Δts = Δtv/√1 – V2/c2 o intervalo de tempo medido quando o observador está em repouso (Δtv) no interior do vagão é denominado intervalo de tempo próprio (Δtp) e o intervalo de tempo medido pelo observador que está em repouso em relação ao solo e fora do vagão que está em movimento será denominado de (Δt).
Preste muita atenção no formulário abaixo
Observe na equação acima que:
Considerando a velocidade V com que o vagão se move muito pequena em relação à velocidade da luz (3,0.108 m/s), a razão V2/c2 ficará extremamente pequena e a expressão √1 – V2/c2 tenderá a 1 fazendo com que Δt = Δtp.
Assim, para velocidades comparáveis ao nosso dia a dia os efeitos da teoria da relatividade são insignificantes.
Por outro lado, se a velocidade V do vagão for se aproximando da velocidade da luz c, Δt vai ficando cada vez maior que Δtp e os efeitos relativísticos vão ficando cada vez maiores.
Veja um exercício exemplo:
A nave Enterprise viaja de Netuno a Plutão a uma velocidade constante v = 0,5c, onde c é a
velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre a partida de Netuno e a chegada à Plutão 2,5h = 150 min. Qual o tempo transcorrido medido no referencial de Netuno?
Resolução:
Contração do espaço (do comprimento)
Considere um vagão em movimento retilíneo e uniforme com velocidade constante de intensidade V em relação a um observador (Os) no solo.
No interior do vagão existe um sistema de referência inercial, observador Ov.
Coloque uma barra de comprimento Lp em relação a Ov no interior do vagão, orientada na direção do movimento.
Devido à dilatação do tempo, essa barra terá comprimento L em relação a Os, depois que o vagão se deslocou durante um intervalo de tempo Δt V = Lp/Δtp Δtp = Lp/V V = L/Δt Δt = L/V Δt= Δtp/(√1 – V2/c2) Δt/Δtp = √1 – V2/c2 (L/V)/(Lp/V) = √1 – V2/c2 L/Lp = √1 – V2/c2
L=Lp. √1 – V2/c2.
Preste muita atenção no formulário abaixo
Observe na equação acima que:
o efeito é sentido apenas na direção do movimento.
As dimensões de um objeto são máximas quando medidas em repouso em relação ao observador.
Quando o objeto se move com velocidade V, em relação ao observador, o resultado da medida de sua dimensão paralela a direção do movimento é menor do que o valor obtido quando em repouso.
As dimensões do objeto, perpendiculares a direção do movimento, não são afetadas.
No cotidiano, valor da velocidade V é desprezível em relação à velocidade da luz c e, nesse caso, a razão V2/c2 é muito pequena, tendendo a zero e pode ser desprezada.
Assim, L = Lp. √1 – V2/c2 L = Lp. √1 – 0 L = Lp que está de acordo com a mecânica de Newton (clássica).
Com velocidade da luz, ou velocidades próximas a ela, você pode percorrer uma distância d num intervalo de tempo menor, devido à contração de seu comprimento.
Assim, é possível atravessarmos o diâmetro da Via Láctea, uma distância de aproximadamente 100 anos-luz (equivalente a 1018m), em um intervalo de tempo bem menor que 100 anos. 
Isso pode ser explicado pelo fenômeno de contração do comprimento, como visto pelo viajante, ou ainda pelo fenômeno de dilatação temporal, como observado por quem está em repouso em relação à galáxia.
Veja um exercício exemplo:
Massa Relativística
A massa é a medida da inércia de um corpo. Assim, à medida que a velocidade de um corpo aumenta sua inércia também aumenta e quando a velocidade do corpo tende à velocidade da luz (a maior possível), sua inércia e consequentemente sua massa tende ao infinito.
Portanto, além do espaço e do tempo, na teoria da velocidade a massa também varia e essa variação é fornecida pela expressão:
Veja um exercício exemplo:
Quando um elétron de massa m = 9,1.10-31 kg é acelerado até atingir 60% da velocidade da luz (V = 0,6c), o que acontecerá com sua massa(m) em relação à sua massa em repouso (mo)? 
Resolução:
Energia Relativística
Como, na teoria da relatividade, a massa relativística está associada com a velocidade, essa relação faz com que a teoria relativística implique também com a energia.
Albert Einstein, Prêmio Nobel de Física, publicou, em 1905, cinco estudos em que definiu a natureza da luz, revolucionou os conceitos de tempo e espaço e formulou a mais conhecida das equações
E = mc².
Segundo a Teoria da Relatividade Especial, formulada por Einstein, essa relação E = mc² expressa a possibilidade de a massa de um corpo ser convertida em energia e vice-versa.
E também é chamada energia própria do corpo.
A energia do repouso é fornecida por Eo =mo.c2, onde mo é a massa do repouso.
A energia cinética relativística do corpo corresponde à diferença entre a energia própria (E) e a energia do repouso (Eo) Ec = E – Eo Ec = mc2 – moc2 Ec = (m – mo).c.
Na expressão Ec = (m – mo).c, como c é constante, se a energia cinética Ec diminuir ou aumentar ocorrerá uma correspondente diminuição ou aumento de massa do corpo.
Veja um exercício exemplo:
Em 1905 Albert Einstein publica a Teoria da Relatividade, com a qual o conceito de energia ganha um novo significado e esta grandeza passa a ser expressa pela famosa equação de Einstein, que estabeleceu definitivamente a equivalência entre a massa e a energia.
Tal equivalência é talvez o resultado mais revolucionário da teoria da relatividade. 
Ela simplesmente nos diz que massa pode ser convertida em energia e vice-versa.
Sabendo-se que a velocidade da luz no vácuo 3 . 108 m/s, determine a energia contida em uma massa de 1 grão de feijão, de aproximadamente 0,2 g.
Relação entre velocidades relativas relativísticas
A velocidade relativa (VR) para dois corpos deslocando-se em sentidos opostos, com velocidades próximas à da luz de módulos u e v em relação a um referencial inercial é fornecida pela fórmula de Einstein ao lado.
Esta expressão é a fórmula de soma de velocidades no caso relativístico. Observe que:
Para velocidades pequenas em relação à velocidade da luz, o termo u.V/c2 tende a zero, e a equação se resume a já esperada fórmula clássica VR = u + V.
Essa fórmula não permite que a velocidade relativa entre dois corpos supere a velocidade da luz.
Veja um exercício exemplo:
Considere duas naves espaciais, N1 e N2 que viajam em sentidos contrários, isto é, opostos, com velocidades de 50% e 70%, respectivamente, da velocidade da luz. Calcule a velocidade relativa de uma nave em relação à outra.
Resolução:
VR = (N1 + N2)/[1 +( N1.N2/c2)] VR = (0,5c + 0,7c)/[1 +( 0,5c.0,7c/c2)] = 1,2c/ (1 + 0,35c2/c2)
VR = 1,2c/1,35 VR ≈ 0,9c.
Observação: Se você utilizar a fórmula da Física Clássica você obterá VR = 0,5c + 0,7c = 1,2c, valor impossível já que a velocidade da luz no vácuo não pode ser maior que c.
Selecionei alguns exercícios interessantes para que você possa conferir as resoluções:
01-(UNESP-SP) Instituído pela Organização das Nações Unidas, 2005 foi o Ano Mundial da Física, em que se comemorou o centenário dos trabalhos revolucionários publicados por Albert Einstein, o mais importante cientista do século XX (segundo a revista norte americana Time).
Na Teoria da Relatividade Especial, de Einstein, objetos que se movem com velocidade V em relação a um referencial inercial tem o tempo dilatado por um fator λ, para um observador em repouso nesse referencial.
A tabela mostra valores de λ para diversos módulos da velocidade V, representados em múltiplos da velocidade da luz, c (ou 3,0.108ms).
Segundo esse modelo, pede-se:
a) qual a velocidade, em m/s, que deve ser atingida pelo objeto para que a dilatação do tempo seja de apenas 0,5%?
Comente como esse resultado explica por que as pessoas não percebem os efeitos da dilatação do tempo no seu dia-a-dia.
b) se para o objeto passaram-se 10 minutos, quantos minutos se passaram para um observador no referencial inercial que vê o objeto se movimentando à velocidade de 0,600c?
Resolução:
a) O intervalo de tempo que sofre maior dilatação na expressão Δt = Δtp/√1 – V2/c2 é Δt e ele se dilata de 0,5% desse valor Δt = Δtp + (0,5/100).Δtp Δt = 1,005.Δtp 1,005 de aumento corresponde ao fator λ Δt = λ.Δtp.
Procurando na tabela quando λ = 1,005 v = 0,100c v = 0,100.3,0.108 v = 3,0.107m/s.
Observe que as velocidades no nosso cotidiano são insignificantes em relação a 3.107 = 30.000.000m/s.
b) quando v = 0,600c λ = 1,250c Δt = λ.Δtp = 1,250.10min Δt = 12,5 min.
02-(UFC-CE)
A figura ao lado mostra uma nave espacial em forma de cubo que se move no referencial S, ao longo
do eixo x, com velocidade v = 0,8c (c é a velocidade da luz no vácuo). 
O volume da nave, medido por um astronauta em repouso dentro dela,
é Vo.
Calcule o volume da nave medido por um observador em repouso no referencial S.
Resolução:
Se d for a aresta da nave, medida pelo astronauta, o volume medido pelo astronauta vale Vo =
d.d.d Vo = d3.
O observador em repouso no referencial S observará uma contração da aresta da nave apenas na direção do eixo x, onde ela se move.
Assim, a nova aresta d’ valerá d’ = d.√(1 – V2/c2) d’ = d.√(1 – 0,64c2/c2) d’ = 0,6d.
O observador em repouso no referencial S verá o novo volume da nave fornecido por V = d.d.d’
V = d.d.0,6d V = 0,6.d.d.d V = 0,6d3 = 0,6Vo.
03-(UPE) Um trem de comprimento igual a 100 m viaja a uma velocidade de 0,8 c, onde c é a velocidade da luz, quando atravessa um túnel de comprimento igual a 70 m.
Quando visto por um observador parado ao lado dos trilhos, é CORRETO afirmar que o trem
a) não chega a ficar totalmente dentro do túnel, restando um espaço de 12 m fora do túnel.
b) fica totalmente dentro do túnel e sobra um espaço de 10 m.
c) fica totalmente dentro do túnel e sobra um espaço de 15 m.
d) não chega a ficar totalmente dentro do túnel, restando um espaço de 5 m fora do túnel.
e) fica totalmente dentro do túnel e não resta nenhum espaço.
Resolução:
Lo = 100m V = 0,8c L =70m para um observador em repouso externo ao trem, o comprimento do trem será L=Lo.√(1 – V2/c2) L=100. √1 – (0,8c)2/c2 L=100.06 L=60m.
Como o comprimento do trem se reduz a 60m, para o observador parado ao lado dos trilhos, o trem
ficará totalmente no interior do túnel de 70m sobrando (70 – 60) = 10m.
R- B
04-(UFG-GO) Antipartículas, raras na natureza, possuem carga elétrica oposta à de suas partículas
correspondentes. 
Se encontrássemos uma fonte de antipartículas, poderíamos produzir uma grande quantidade de energia, permitindo que elas se aniquilassem com suas partículas. Dessa forma, calcule:
a) a quantidade de energia que seria liberada se 2,0 gramas de antimatéria fossem aniquiladas com 2,0 gramas de sua matéria (considere a velocidade da luz igual a 3,0.108m/s);
b) por quanto tempo essa energia abasteceria uma cidade com um milhão de habitantes,
considerando que uma pessoa consome, em média, 100 kWh por mês.
Resolução:
a) Massas aniquiladas m = (2g + 2g) = 4g = 4.10-3kg fórmula de Einstein da equivalência entre massa e energia E = m.c2 = 4.10-3.(3.108)2 E = 3,6.1014J.
b) Energia consumida pela cidade de um milhão de habitantes (106 habitantes) com potência de P =
100×103 W E = n.P.Δt = 106x100x103x3600 = 36.1013 = 3,6.1014 J
R: 1 mês
O que você deve saber, informações e dicas
Postulados da Relatividade Especial
Velocidade relativa (VR) para dois corpos deslocando-se em sentidos opostos, com velocidades de módulo u e v em relação a um referencial inercial.
A energia cinética relativística de um corpo corresponde à diferença entre a energia própria (E) e a energia do repouso (Eo) Ec=E – Eo Ec=mc2 – moc2 Ec=(m – mo).c.
Como c é constante, se Ec diminuir ou aumentar ocorrerá uma correspondente diminuição ou aumento de massa do corpo.
Pela teoria da Relatividade Geral de Einstein, quando raios de luz provenientes de um corpo estelar, como estrelas ou galáxias, passam muito próximos de um objeto estelar de grande densidade de massa, esses raios de luz são desviados para um ponto de encontro oposto ao lado em que os raios incidem no objeto.
Esse encurvamento de um raio de luz em sentido oposto ao do corpo é explicado pelo mesmo modo que um índice de refração variável encurva a luz em uma
Miragem.
Assim, por exemplo, um grupo de galáxias de grande massa também provoca uma forte curvatura no espaço-tempo, fazendo com que todos os raios luminosos que atravessem a região sejam curvados, formando uma verdadeira lente cósmica.
Paradoxo dos gêmeos
Paradoxo, no exemplo abaixo, pode ser definido como aparente falta de lógica.
O paradoxo dos gêmeos foi um experimento mental proposto para demonstrar a teoria da dilatação do tempo, atualmente já comprovada experimentalmente.
Considere dois irmãos gêmeos, sendo que o irmão gêmeo A fica na Terra, enquanto o outro, o gêmeo B, utilizando uma espaçonave, faz uma viagem espacial na qual viaja próximo a velocidade da luz.
Por causa do movimento do gêmeo B (o que viaja próximo a velocidade da luz) seu tempo passa mais devagar dentro da espaçonave, conforme é visto pelo irmão, gêmeo A, que ficou na Terra.
Quando o gêmeo B retornar para a Terra verificará que seu irmão, o gêmeo A, está mais velho.
O efeito vale para qualquer pessoa.
Se você quiser se aprofundar mais no assunto da Teoria da Relatividade seria aconselhável conferir as resoluções dos exercícios que seleciomei, de números 03, 07,08,15, 17, 18, 26, 30, 36 e 48.